Integral Fungsi Rasional-Kuadrat

Pada pembahasan kali ini, kita akan membahas tentang integral fungsi rasional-kuadrat. Sebelumnya kita telah membahas bentuk penyebut integran yang dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang. Bentuk lainnya adalah penyebut integran difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadrat atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial `\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{ax+b}+\frac{Bx+C}{px^{2}+qx+r}`, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A, B, dan C.

Agar lebih memahaminya perhatikan contoh-contoh berikut.

1. Tentukan `int \frac{-2x+4}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}dx`

Solusi:

Penyebut adalah kombinasi linear berulang `(x-1)^{2}` dengan kuadrat `(x^{2}+1)`, sehingga

`\int \frac{-2x+4}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}dx=\int \frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{(Ax+B)(x-1)^{2}+C(x^{2}+1)(x-1)+D(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{(Ax+B)(x^{2}-2x+1)+C(x^{3}-x^{2}+x-1)+D(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{Ax^{3}-2Ax^{2}+Ax+Bx^{2}-2Bx+B+Cx^{3}-Cx^{2}+Cx-C+Dx^{2}+D}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{(A+C)x^{3}+(-2A+B-C+D)x^{2}+(A-2B+C)x+(B-C+D)}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}dx`

Diperoleh:

Koefisien `x^{3}`: `A+C=0`

Koefisien `x^{2}`: `-2A+B-C+D=0`

Koefisien `x^{1}`: `A-2B+C=-2`

Koefisien `x^{0}`: `B-C+D=4`

Dengan menggunakan eliminasi variabel dan substitusi diperoleh `A=2`, `B=1`, `C=-2`, dan `D=1`.

Sehingga,

`\int \frac{-2x+4}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}dx=\int \frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{2x+1}{x^{2}+1}-\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int (\frac{2x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}})dx`

`=ln|x^{2}+1|+arctanx-2ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C`

2. Tentukan `\int \frac{3x^{2}+x+4}{x^{3}+x}dx`

Solusi:

`\int \frac{3x^{2}+x+4}{x^{3}+x}dx=\int \frac{3x^{2}+x+4}{x(x^{2}+1)}dx`

`=\int \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}dx`

`=\int \frac{A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x)}{x(x^{2}+1)}dx`

`=\int \frac{Ax^{2}+A+Bx^{2}+Cx}{x^{3}+x}dx`

`=\int \frac{(A+B)x^{2}+Cx+A}{x^{3}+x}dx`

Koefisien `x^{2}`: `A+B=3`

Koefisien `x^{1}`: `C=1`

Koefisien `x^{0}`: `A=4`

Substitusi nilai `A=4` pada persamaan (1) sehingga diperoleh `B=-1`. 

Jadi,

`\int \frac{3x^{2}+x+4}{x^{3}+x}dx=\int \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}dx`

`=\int \frac{4}{x}+\frac{(-x+1)}{x^{2}+1}dx`

`=\int \frac{4}{x}+\frac{(-x)}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1}dx`

`=\int \frac{4}{x}dx-\int \frac{x}{x^{2}+1}dx+\int \frac{1}{x^{2}+1}dx`

`=4ln|x|-\frac{1}{2}ln|x^{2}+1|+arctanx+C`

3. Carilah `\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3x^{2}+2}dx`

Solusi:

`\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3x^{2}+2}dx=\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}dx`

`=\int \frac{Ax+B}{(x^{2}+1)}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+2)}dx`

`=\int \frac{(Ax+B)(x^{2}+2)+(Cx+D)(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}dx`

`=\int \frac{Ax^{3}+2Ax+Bx^{2}+2B+Cx^{3}+Cx+Dx^{2}+D}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}dx`

`=\int \frac{(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(2A+C)x+(2B+D)}{x^{4}+3x^{2}+2}dx`

Diperoleh:

Koefisien `x^{3}`: `A+C=1`

Koefisien `x^{2}`: `B+D=1`

Koefisien `x^{1}`: `2A+C=1`

Koefisien `x^{0}`: `2B+D=2`

Dengan menggunakan eliminasi variabel dan substitusi diperoleh `A=0`, `B=1`, `C=1`, dan `D=0` sehingga:

`\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3x^{2}+2}dx=\int \frac{Ax+B}{(x^{2}+1)}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+2)}dx`

`=\int \frac{1}{(x^{2}+1)}+\frac{x}{(x^{2}+2)}dx`

`=\int \frac{1}{x^{2}+1}dx+\int \frac{x}{x^{2}+2}dx`

`=arctanx+\frac{1}{2}ln|x^{2}+2|+C`

4. Tentukan integral `\int \frac{y^{2}+2y+1}{(y^{2}+1)^{2}}dy`

Solusi:

`\int \frac{y^{2}+2y+1}{(y^{2}+1)^{2}}dy=\int \frac{Ay+B}{(y^{2}+1)}+\frac{Cy+D}{(y^{2}+1)^{2}}dy`

`=\int \frac{(Ay+B)(y^{2}+1)+Cy+D}{(y^{2}+1)^{2}}dy`

`=\int \frac{Ay^{3}+Ay+By^{2}+B+Cy+D}{(y^{2}+1)^{2}}dy`

`=\int \frac{Ay^{3}+By^{2}+(A+C)y+(B+D)}{(y^{2}+1)^{2}}dy`

Diperoleh:

Koefisien `y^{3}`: `A=0`

Koefisien `y^{2}`: `B=1`

Koefisien `y^{1}`: `A+C=2`

Koefisien `y^{0}`: `B+D=1`

Sehingga dengan substitusi nilai `A=0` dan `B=1` diperoleh `C=2` dan `D=0`.

Jadi,

`\int \frac{y^{2}+2y+1}{(y^{2}+1)^{2}}dy=\int \frac{Ay+B}{(y^{2}+1)}+\frac{Cy+D}{(y^{2}+1)^{2}}dy`

`=\int \frac{1}{(y^{2}+1)}+\frac{2y}{(y^{2}+1)^{2}}dy`

`=\int \frac{1}{(y^{2}+1)}dy+\int \frac{2y}{(y^{2}+1)^{2}}dy`

`=arctany-\frac{1}{y^{2}+1}+C`

5. Tentukan `\int \frac{x^{3}-4x}{x^{2}+1}dx`

Solusi:

Integran bukan fungsi rasional sejati maka penyelesaiannya adalah:

`\int \frac{x^{3}-4x}{x^{2}+1}dx=\int (x-\frac{5x}{x^{2}+1})dx`

`=\int xdx-\int \frac{5x}{x^{2}+1}dx`

`=\frac{x^{2}}{2}-5\int \frac{x}{x^{2}+1}dx`

`=\frac{x^{2}}{2}-5(\frac{1}{2})(ln|x^{2}+1|)+C`

`=\frac{x^{2}}{2}-\frac{5}{2}ln|x^{2}+1|+C`

`=\frac{x^{2}}{2}-ln|x^{2}+1|^{\frac{5}{2}}+C`

`=\frac{x^{2}}{2}-ln\sqrt{(x^{2}+1)^{5}}+C`

Integral Fungsi Rasional-Linear

Sebelumnya, kita telah membahas beberapa teknik dalam menyelesaikan integral suatu fungsi. Dan, kali ini kita akan membahas lagi teknik atau metode lain dalam mencari integral fungsi khususnya fungsi rasional-linear. Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}`, dimana `f(x)`, `g(x)` adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan `g(x)\ne 0`. Polinom adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan `f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{n}x^{n}, n=1,2,3,...`, sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk `\frac{f(x)}{g(x)}` yang pembilang dan penyebutnya polinom.

Fungsi rasional dibagi menjadi dua jenis, yaitu fungsi rasional sejati dan fungsi rasional tidak sejati. Suatu fungsi dikatakan fungsi rasional sejati bila derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut. Jika derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut maka fungsi tersebut termasuk dalam fungsi rasional tidak sejati. Perhatikan contoh berikut.

1. `F(x)=\frac{1-x}{x^{2}-3x+2}`  (fungsi rasional sejati)

2. `F(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-4x+4}`  (fungsi rasional tidak sejati)

3. `F(x)=\frac{x^{5}-2x^{3}-x+1}{x^{3}+5x}`  (fungsi rasional tidak sejati)

Jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati.

Langkah-langkah dalam menentukan integral fungsi rasional, yaitu sebagai berikut.

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut `g(x)` dari fungsi rasional `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}`sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, `g(x)` dapat berupa kombinasi antara:

-) fungsi linear berbeda, `g(x)=(x-a)(x-b)...(x-t)` dst.

-) fungsi linear berulang, `g(x)=(x-a)^{n}=(x-a)(x-a)(x-a)...(x-a)`

-) fungsi linear dan kuadrat, `g(x)=(x-a)(ax^{2}+bx+c)`                                         

-) fungsi kuadrat berbeda, `g(x)=(ax^{2}+bx+c)(px^{2}+qx+c)`

-) fungsi kuadrat berulang, `g(x)=(ax^{2}+bx+c)^{n}`

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya,

Misal: 

`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_{1}}{ax_{1}+b_{1}}+\frac{A_{2}}{ax_{2}+b_{2}}+...`  (penyebut kombinasi linear berbeda)

`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_{1}}{(ax+b)}+\frac{A_{2}}{(ax+b)^{2}}+\frac{A_{3}}{(ax+b)^{3}}+...`  (penyebut kombinasi linear berulang)

`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_{1}x+B_{1}}{a_{1}x^{2}b_{1}x+c_{1}}+\frac{A_{2}x+B_{2}}{a_{2}x^{2}b_{2}x+c_{2}}+...`  (penyebut kombinasi kuadrat berbeda)

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta `A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{n}` dan `B_{1},B_{2},B_{3},...,B_{n}`

Agar teman-teman lebih memahaminya, yuk simak contoh-contoh berikut!

1. Gunakan pecahan parsial untuk menghitung `\int \frac{2x+2}{x^{2}-2x+1}dx`

Solusi:

`\int \frac{2x+2}{x^{2}-2x+1}dx=\int \frac{2x+2}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{A(x-1)+B}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{Ax+(-A+B)}{x^{2}-2x+1}dx`

Diperoleh

Koefisien `x^{1}`: `A=2`

Koefisien `x^{0}`: `-A+B=2`

Didapatkan penyelesaian `A=2` dan `B=4`, sehingga

`\int \frac{2x+2}{x^{2}-2x+1}dx=\int \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{2}{(x-1)}+\frac{4}{(x-1)^{2}}dx`

`=2\int \frac{1}{x-1}dx+4\int \frac{1}{(x-1)^{2}}dx`

`=2\int \frac{1}{x-1}dx+4\int (x-1)^{-2}dx`

`=2ln|x-1|-4(\frac{1}{x-1})+C`

`=2ln|x-1|-\frac{4}{x-1}+C`

2. Gunakan pecahan parsial untuk menghitung `\int \frac{x^{6}-4x^{3}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx`

Solusi:

Karena integran bukan fungsi rasional sejati maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati terlebih dahulu melalui proses pembagian.

`\int \frac{x^{6}-4x^{3}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx=\int x^{3}+4x^{2}+16x+60+\frac{240x^{2}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx`

`=\int (x^{3}+4x^{2}+16x+60)dx+\int \frac{240x^{2}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx`

`=\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+\frac{16x^{2}}{2}+60x+\int \frac{240x^{2}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx`

Selanjutnya dicari `\int \frac{240x^{2}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx`

`\int \frac{240x^{2}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx=\int \frac{240x^{2}+4}{x^{2}(x-4)}dx`

`=\int \frac{A}{x^{2}}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x-4}dx`

`=\int \frac{A(x-4)+B(x)(x-4)+C(x^{2})}{x^{2}(x-4)}dx`

`=\int \frac{(B+C)x^{2}+(A-4B)x-4A}{x^{3}-4x^{2}}dx`

Diperoleh

Koefisien `x^{2}`: `B+C=240`

Koefisien `x^{1}`: `A-4B=0`

Koefisien `x^{0}`: `-4A=4`

Didapatkan penyelesaian `A=-1`, `B=-\frac{1}{4}`, dan `C=\frac{961}{4}`

`\int \frac{240x^{2}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx=\int \frac{A}{x^{2}}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x-4}dx`

`=\int \frac{-1}{x^{2}}-\frac{1}{4}(\frac{1}{x})+\frac{961}{4}(\frac{1}{x-4})dx`

`=-1\int x^{-2}dx-\frac{1}{4}\int \frac{1}{x}dx+\frac{961}{4}\int \frac{1}{x-4}dx`

`=\frac{1}{x}-\frac{1}{4}ln|x|+\frac{961}{4}ln|x-4|+C`

Jadi,

`\int \frac{x^{6}-4x^{3}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx=\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+\frac{16x^{2}}{2}+60x+\int \frac{240x^{2}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx`

`=\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+8x^{2}+60x+\frac{1}{x}-\frac{1}{4}ln|x|+\frac{961}{4}ln|x-4|+C`

3. Gunakan pecahan parsial untuk menghitung `\int \frac{x^{2}+4x+1}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx`

Solusi:

`\int \frac{x^{2}+4x+1}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx=\int \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+3}dx`

`=\int \frac{A(x+1)(x+3)+B(x-1)(x+3)+C(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx`

`=\int \frac{A(x^{2}+4x+3)+B(x^{2}+2x-3)+C(x^{2}-1)}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx`

`=\int \frac{(A+B+C)x^{2}+(4A+2B)x+(3A-3B-C)}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx`

Diperoleh

Koefisien `x^{2}`: `A+B+C=1`

Koefisien `x^{1}`: `4A+2B=4`

Koefisien `x^{0}`: `3A-3B-C=1`

Selanjutnya, kita menggunakan eliminasi variabel untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan A, B, dan C yang tidak diketahui. Didapatkan penyelesaian `A=\frac{3}{4}`, `B=\frac{1}{2}`, dan `C=-\frac{1}{4}`, sehingga

`\int \frac{x^{2}+4x+1}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx=\int \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+3}dx`

`=\int (\frac{3}{4}\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2}\frac{1}{x+1}-\frac{1}{4}\frac{1}{x+3})dx`

`=\frac{3}{4}\int \frac{1}{x-1}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}dx-\frac{1}{4}\int \frac{1}{x+3}dx`

`=\frac{3}{4}ln|x-1|+\frac{1}{2}ln|x+1|-\frac{1}{4}ln|x+3|+C`

4. Gunakan pecahan parsial untuk menghitung `\int \frac{2x+1}{x^{2}-7x+12}dx`

Solusi:

`\int \frac{2x+1}{x^{2}-7x+12}dx=\int \frac{2x+1}{(x-4)(x-3)}dx`

`=\int \frac{A}{x-4}+\frac{B}{x-3}dx`

`=\int \frac{A(x-3)+B(x-4)}{(x-4)(x-3)}dx`

`=\int \frac{(A+B)x+(-3A-4B)}{x^{2}-7x+12}dx`

Diperoleh

Koefisien `x^{1}`: `A+B=2`

Koefisien `x^{0}`: `-3A-4B=1`

Selanjutnya, kita menggunakan eliminasi variabel untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan A, B, dan C yang tidak diketahui. Didapatkan penyelesaian `A=9` dan `B=-7`, sehingga

`\int \frac{2x+1}{x^{2}-7x+12}dx=\int \frac{A}{x-4}+\frac{B}{x-3}dx`

`=\int \frac{9}{x-4}-\frac{7}{x-3}dx`

`=9ln|x-4|-7ln|x-3|+C`

`=ln|x-4|^{9}-ln|x-3|^{7}+C`

`=ln|\frac{(x-4)^{9}}{(x-3)^{7}}|+C`

5. Gunakan pecahan parsial untuk menghitung `\int \frac{x^{3}}{x^{2}+2x+1}dx`

Solusi:

Karena integran bukan fungsi rasional sejati maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati terlebih dahulu melalui proses pembagian.

`\int \frac{x^{3}}{x^{2}+2x+1}dx=\int (x-2)+\frac{3x+2}{x^{2}+2x+1}dx`

`=\int xdx-\int 2dx+\int \frac{3x+2}{x^{2}+2x+1}dx`

`=\frac{x^{2}}{2}-2x+\int \frac{3x+2}{x^{2}+2x+1}dx`

Selanjutnya dicari `\int \frac{3x+2}{x^{2}+2x+1}dx`

`\int \frac{3x+2}{x^{2}+2x+1}dx=\int \frac{3x+2}{(x+1)^{2}}dx`

`=\int \frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}dx`

`=\int \frac{A(x+1)+B}{(x+1)^{2}}dx`

`=\int \frac{Ax+(A+B)}{x^{2}+2x+1}dx`

Diperoleh

Koefisien `x^{1}`: `A=3`

Koefisien `x^{0}`: `A+B=2`

Didapatkan penyelesaian `A=3` dan `B=-1`, sehingga

`\int \frac{3x+2}{x^{2}+2x+1}dx=\int \frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}dx`

`=\int \frac{3}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}dx`

`=3\int \frac{1}{x+1}dx-\int (x+1)^{-2}dx`

`=3ln|x+1|+\frac{1}{x+1}`

Jadi,

`\int \frac{x^{3}}{x^{2}+2x+1}dx=\frac{x^{2}}{2}-2x+\int \frac{3x+2}{x^{2}+2x+1}dx`

`=\frac{x^{2}}{2}-2x+3ln|x+1|+\frac{1}{x+1}+C`

6. Gunakan pecahan parsial untuk menghitung `\int \frac{3x+5}{x^{3}-x^{2}-x+1}dx`

Solusi:

`\int \frac{3x+5}{x^{3}-x^{2}-x+1}dx=\int \frac{3x+5}{(x+1)(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{A(x-1)^{2}+B(x+1)(x-1)+C(x+1)}{(x+1)(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{A(x^{2}-2x+1)+B(x^{2}-1)+C(x+1)}{x^{3}-x^{2}-x+1}dx`

`=\int \frac{(A+B)x^{2}+(-2A+C)x+(A-B+C)}{x^{3}-x^{2}-x+1}dx`

Diperoleh

Koefisien `x^{2}`: `A+B=0`

Koefisien `x^{1}`: `-2A+C=3`

Koefisien `x^{0}`: `A-B+C=5`

Selanjutnya, kita menggunakan eliminasi variabel untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan A, B, dan C yang tidak diketahui. Didapatkan penyelesaian `A=\frac{1}{2}`, `B=-\frac{1}{2}`, dan `C=4`, sehingga

`\int \frac{3x+5}{x^{3}-x^{2}-x+1}dx=\int \frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{1}{2}(\frac{1}{x+1})-\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1})+\frac{4}{(x-1)^{2}}dx`

`=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}dx+4\int (x-1)^{-2}dx`

`=\frac{1}{2}ln|x+1|-\frac{1}{2}ln|x-1|-4(\frac{1}{x-1})+C`

`=\frac{1}{2}ln|x+1|-\frac{1}{2}ln|x-1|-\frac{4}{x-1}+C`

Integral Parsial

Pada pembahasan kali ini, kita akan membahas konsep integral parsial. Teman-teman pasti bertanya-tanya dong bagaimana sih itu konsep integral parsial? Jadi teman-teman, integral parsial adalah salah satu teknik untuk menyelesaikan integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi `uv`, dimana `u=f(x)` dan `v=g(x)`. Integral ini berguna ketika `f` dapat didiferensiasikan berkali-kali dan `g` dapat diintegrasikan berkali-kali tanpa kesulitan. Karena `y=uv`, maka menurut definisi diferensial dan turunan fungsi `y=uv` diperoleh

`dy=d(uv)`

`d(uv)=udv+vdu`

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh

`\int d(uv)=\int udv+\int vdu`

`\leftrightarrow \int udv=\int d(uv)-\int vdu`

`\leftrightarrow \int udv=\int dy-\int vdu`

`\leftrightarrow \int udv=y-\int vdu`

`\leftrightarrow \int udv=uv-\int vdu`

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial.

Sekarang, perhatikan contoh-contoh berikut.

Tentukan integral parsial berikut ini.

1. `\int (x^{2}-1)cosxdx`

Solusi:

Misalkan `u=x^{2}-1` maka `du=2xdx`

`dv=cosxdx` maka `v=\int cosxdx=sinx`

Dengan menggunakan rumus integral parsial `\int udv=uv-\int vdu` diperoleh

`\int (x^{2}-1)cosxdx=(x^{2}-1)sinx-\int sinx.2xdx`

`=(x^{2}-1)sinx-2\int xsinxdx`

Untuk mengintegralkan bentuk `\int xsinxdx`, gunakan kembali rumus integral parsial untuk

`u=x` maka `du=dx`

`dv=sinxdx` maka `v=\int sinxdx=-cos x`

Sehingga kita akan peroleh

`\int (x^{2}-1)cosxdx=(x^{2}-1)sinx-2\int x sinxdx`

`=(x^{2}-1)sinx-2(-xcosx-\int (-cosxdx))`

`=(x^{2}-1)sinx+2xcosx-2sinx+C`

`=x^{2}sinx-sinx+2xcosx-2sinx+C`

`=x^{2}sinx-3sinx+2xcosx+C`

`=(x^{2}-3)sinx+2xcosx+C`

Jadi, `\int (x^{2}-1)cosxdx=(x^{2}-3)sinx+2xcosx+C`

2. `\int e^{x}cosxdx`

Solusi:

Misal `u=e^{x}` maka `du=e^{x}dx`

`dv=cosxdx` maka `v=\int cosxdx=sinx`

Dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh

`\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx`

Untuk mengintegralkan bentuk `\int e^{x}sinxdx`, gunakan kembali rumus integral parsial untuk

`u=e^{x}` maka `du=e^{x}dx`

`dv=sinxdx` maka `v=\int sinxdx=-cosx`

Sehingga kita akan peroleh

`\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx`

`\leftrightarrow \int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-[e^{x}(-cosx)-\int (-cosx)(e^{x}dx)]`

`\leftrightarrow \int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}cosx-\int e^{x}cosxdx`

`\leftrightarrow \int e^{x}cosxdx+\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}cosx`

`\leftrightarrow 2\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}cosx`

`\leftrightarrow \int e^{x}cosxdx=\frac{e^{x}sinx}{2}+\frac{e^{x}cosx}{2}+C`

3. `\int xsin3xdx`

Solusi:

Misal `u=x` maka `du=dx`

`dv=sin3xdx` maka `v=\int sin3xdx=-\frac{cos3x}{3}`

Dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh

`\int xsin3xdx=x(-\frac{cos3x}{3})-\int (-\frac{cos3x}{3})dx`

`=-\frac{xcos3x}{3}+\frac{1}{3}\int cos3xdx`

`=-\frac{xcos3x}{3}+\frac{1}{3}(\frac{1}{3}sin3x)+C`

`=-\frac{xcos3x}{3}+\frac{sin3x}{9}+C`

Jadi, `\int xsin3xdx=-\frac{xcos3x}{3}+\frac{sin3x}{9}+C`

4. `\int x^{3}lnxdx`

Solusi:

Misal `u=x^{3}` maka `du=3x^{2}dx`

`dv=lnxdx` maka `v=\int lnxdx`

Untuk mengintegralkan bentuk `\int lnxdx`, gunakan rumus integral parsial untuk

`u=lnx` maka `du=\frac{1}{x}dx`

`dv=dx` maka `v=x`

`\int lnxdx=xlnx-\int x(\frac{dx}{x})`

`=xlnx-\int dx`

`=xlnx-x`

Jadi, `v=\int lnxdx=xlnx-x`

Sehingga dengan menggunakan rumus integral parsial kita akan peroleh

`\int x^{3}lnxdx=x^{3}(xlnx-x)-\int (xlnx-x)(3x^{2}dx)`

`\leftrightarrow \int x^{3}lnxdx=x^{4}lnx-x^{4}-\int (xlnx-x)(3x^{2})dx`

`\leftrightarrow \int x^{3}lnxdx=x^{4}lnx-x^{4}-\int (3x^{3}lnx-3x^{3})dx`

`\leftrightarrow \int x^{3}lnxdx=x^{4}lnx-x^{4}-3\int x^{3}lnxdx+\int 3x^{3}dx`

`\leftrightarrow 4\int x^{3}lnxdx=x^{4}lnx-x^{4}+\frac{3x^{4}}{4}+C`

`\leftrightarrow \int x^{3}lnxdx=\frac{x^{4}lnx}{4}-\frac{x^{4}}{4}+\frac{3x^{4}}{16}+C`

`\leftrightarrow \int x^{3}lnxdx=\frac{x^{4}lnx}{4}-\frac{4x^{4}}{16}+\frac{3x^{4}}{16}+C`

`\leftrightarrow \int x^{3}lnxdx=\frac{x^{4}lnx}{4}-\frac{x^{4}}{16}+C`

5. `\int x^{2}e^{x}dx`

Solusi:

Misal `u=x^{2}` maka `du=2xdx`

`dv=e^{x}dx` maka `v=\int e^{x}dx=e^{x}`

Dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh

`\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-\int e^{x}2xdx`

`=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx`

Untuk mengintegralkan bentuk `\int xe^{x}dx`, gunakan kembali rumus integral parsial untuk

`u=x` maka `du=dx`

`dv=e^{x}dx` maka `v=\int e^{x}dx=e^{x}`

Sehingga kita akan peroleh

`\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx`

`=x^{2}e^{x}-2(xe^{x}-\int e^{x}dx)`

`=x^{2}e^{x}-2(xe^{x}-e^{x})+C`

`=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+C`

Jadi, `\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+C`

Integral Substitusi Fungsi Trigonometri

Halo teman-teman, jumpa lagi kita untuk belajar matematika bersama di fun math notes. Nah, kali ini kita akan membahas tentang teknik substitusi fungsi trigonometri. Teknik ini digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk berikut:

`\sqrt{a^{2}-x^{2}},a> 0,a\in \mathbb{R}`
`\sqrt{x^{2}+a^{2}}=\sqrt{a^{2}+x^{2}},a> 0,a\in \mathbb{R}`
`\sqrt{x^{2}-a^{2}},a> 0,a\in \mathbb{R}`

Bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, yakni sebagai berikut.

`\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}=\sqrt{(\frac{a}{b})^{2}-x^{2}}`
`\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}=\sqrt{(\frac{a}{b})^{2}+x^{2}}`
`\sqrt{a^{2}x^{2}-b^{2}}=\sqrt{x^{2}-(\frac{b}{a})^{2}}`

Selain bentuk-bentuk yang telah dipaparkan, teman-teman juga dapat mengubah bentuk `\sqrt{ax^{2}+bx+c}` menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Substitusi yang paling umum adalah `x=a sint`, `x=a tant`, `x=a sect`. Ketiganya akan kita bahas satu per satu.

1. `\sqrt{a^{2}-x^{2}}` gunakan substitusi 

`x=a sint` atau `sint=\frac{x}{a}`

`x=a sint` maka `dx=a cost dt`

Dengan `-\frac{\pi }{2}\leq t\leq \frac{\pi }{2}` sehingga,

`\sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-(a sint)^{2}}`

`=\sqrt{a^{2}-a^{2}sin^{2}t}`

`=\sqrt{a^{2}(1-sin^{2}t)}`

`=\sqrt{a^{2}cos^{2}t}`

`=a cost`

2. `\sqrt{a^{2}+x^{2}}` gunakan substitusi

`x=a tant` atau `tant=\frac{x}{a}`

`x=a tant` maka `dx=a sec^{2}t dt`

Dengan `-\frac{\pi }{2}\leq t\leq \frac{\pi }{2}` sehingga,

`\sqrt{a^{2}+x^{2}}=\sqrt{a^{2}+(a tant)^{2}}`

`=\sqrt{a^{2}(1+tan^{2}t)}`

`=\sqrt{a^{2}sec^{2}t}`

`=a sect`

3. `\sqrt{x^{2}-a^{2}}` gunakan substitusi

`x=a sect` atau `sect=\frac{x}{a}`

`x=a sect` maka `dx=a sect tant dt`

Dengan `0\leq t< \frac{\pi }{2};(x\geq a)` dan `\frac{\pi }{2}\leq t\leq \pi ;(x\leq -a)` sehingga,

`\sqrt{x^{2}-a^{2}}= \sqrt{(a sect)^{2}-a^{2}}`

`=\sqrt{a^{2}sec^{2}t-a^{2}}`

`=\sqrt{a^{2}(sec^{2}t-1)}`

`=\sqrt{a^{2}(tan^{2}t)}`

`=a tant`

Nah, untuk dapat memahami bentuk-bentuk di atas, yuk simak contoh soal di bawah ini.

1. Hitunglah integral `\int \frac{3dx}{\sqrt{1+9x^{2}}}`

Solusi:

Pertama, bentuk akar dituliskan sebagai

`\sqrt{1+9x^{2}}=\sqrt{9(\frac{1}{9}+x^{2})}`

`=3\sqrt{\frac{1}{9}+x^{2}}`

`=3\sqrt{(\frac{1}{3})^{2}+x^{2}}`

agar yang diakarkan berubah menjadi bentuk `a^{2}+x^{2}`.

Kemudian, kita mensubstitusi

`x=\frac{1}{3}tant`

`\Leftrightarrow dx=\frac{1}{3}sec^{2}tdt`

`\sqrt{1+9x^{2}}=3\sqrt{(\frac{1}{3})^{2}+x^{2}}`

`=3\sqrt{\frac{1}{9}+(\frac{1}{3}tant)^{2}}`

`=3\sqrt{\frac{1}{9}(1+tan^{2}t)}`

`=3(\frac{1}{3})\sqrt{sec^{2}t}`

`=sect`

Sehingga dengan substitusi kita memperoleh,

`\int \frac{3dx}{\sqrt{1+9x^{2}}}`

`=\int \frac{3(\frac{1}{3}sec^{2}tdt)}{sect}`

`=\int sectdt`

`=ln|sect+tant|+C`

`=ln|\sqrt{1+9x^{2}}+3x|+C`

2. Tentukan integral `\int \sqrt{16-x^{2}}dx`

Solusi:

Substitusi `x=4sint \Leftrightarrow sint=\frac{x}{4}`

`\Leftrightarrow dx=4costdt`

`\sqrt{16-x^{2}}=\sqrt{16-(4sint)^{2}}`

`=\sqrt{16(1-sin^{2}t)}`

`=4cost`

Sehingga,

`\int \sqrt{16-x^{2}}dx`

`=\int 4cost(4 costdt)`

`=16\int cos^{2}tdt`

`=16\int \frac{1+cos2t}{2}dt`

`=8\int (1+cos2t)dt`

`=8(t+\frac{sin2t}{2})+C`

`=8t+4sin2t+C`

`=8t+4(2sintcost)+C`

`=8t+8(\frac{x}{4}.\frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4})+C`

`=8t+\frac{x\sqrt{16-x^{2}}}{2}+C`

`=8 arcsin(\frac{x}{4})+\frac{x\sqrt{16-x^{2}}}{2}+C`

3. Carilah `\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-2x-8}}`

Solusi:

Pertama, bentuk akar `\sqrt{x^{2}-2x-8}` kita ubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Proses dalam kuadrat sempurna:

`x^{2}-2x-8=0`

`x^{2}-2x=8`

`x^{2}-2x+1=8+1` `\rightarrow` kedua ruas ditambah dengan `(\frac{b}{2})^{2}`

`x^{2}-2x+1=9`

`(x-1)^{2}=9`

`(x-1)^{2}-9=0`

Jadi, `\sqrt{x^{2}-2x-8}=\sqrt{(x-1)^{2}-9}`

`\sqrt{(x-1)^{2}-9}=\sqrt{(3sect)^{2}-9}`

`=\sqrt{9(sec^{2}t-1)}`

`=3tant`

Kemudian, kita mensubstitusi

`(x-1)=3sect\Leftrightarrow sect=\frac{x-1}{3}`

`x=3sect+1\Leftrightarrow dx=3sect tant dt`

Sehingga dengan substitusi kita memperoleh,

`\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-2x-8}}`

`=\int \frac{3sect tant dt}{3tant}`

`=\int sect dt`

`=ln|sect+tant|+C`

`=ln|\frac{x-1}{3}+\frac{\sqrt{x^{2}-2x-8}}{3}|+C`

`=ln|\frac{(x-1)+(\sqrt{x^{2}-2x-8})}{3}|+C`

`=ln|(x-1)+(\sqrt{x^{2}-2x-8})|-ln3+C`

`=ln|(x-1)+(\sqrt{x^{2}-2x-8})|+C`

4. Tentukan `\int \sqrt{1-9t^{2}}dt`

Solusi:

Pertama, bentuk akar dituliskan sebagai

`\sqrt{1-9t^{2}}=\sqrt{9(\frac{1}{9}-t^{2})}`

`=3\sqrt{(\frac{1}{3})^{2}-t^{2}}`

agar yang diakarkan berubah menjadi bentuk `a^{2}-t^{2}`.

Kemudian, kita mensubstitusi

`t=\frac{1}{3}sin\theta \Leftrightarrow sin\theta=3t`

`\Leftrightarrow dt=\frac{1}{3}cos\theta d\theta`

`\sqrt{1-9t^{2}}=3\sqrt{(\frac{1}{3})^{2}-t^{2}}`

`=3\sqrt{(\frac{1}{3})^{2}-(\frac{1}{3}sin\theta)^{2}}`

`=3\sqrt{(\frac{1}{3})^{2}-\frac{1}{9}(sin^{2}\theta)}`

`=3\sqrt{\frac{1}{9}(1-sin^{2}\theta)}`

`=3(\frac{1}{3})cos\theta`

`=cos\theta`

Sehingga dengan substitusi kita memperoleh,

`\int \sqrt{1-9t^{2}} dt`

`=\int cos\theta (\frac{1}{3}cos\theta d\theta)`

`=\frac{1}{3}\int cos^{2}\theta d\theta`

`=\frac{1}{3}\int (\frac{1+cos2\theta}{2})d\theta`

`=\frac{1}{6}\int (1+cos2\theta) d\theta`

`=\frac{1}{6}(\theta +\frac{sin2\theta}{2})+C`

`=\frac{1}{6}(\theta +sin\theta cos\theta)+C`

`=\frac{1}{6}(arcsin(3t)+3t\sqrt{1-9t^{2}})`

5. Tentukan `\int \frac{\sqrt{y^{2}-49}}{y}dy, y> 7` 

Solusi:

Substitusi `y=7 sect\Leftrightarrow sect=\frac{y}{7}`

`\Leftrightarrow dy=7 sect tant dt`

`\sqrt{y^{2}-49}=\sqrt{(7 sect)^{2}-49}`

`=\sqrt{49(sec^{2}t-1)}`

`=7tan t`

Sehingga,

`\int \frac{\sqrt{y^{2}-49}}{y}dy`

`=\int \frac{7tan t}{7 sect}(7 sect tant dt)`

`=7\int tan^{2}tdt`

`=7\int (sec^{2}-1)dt`

`=7(tant-t)`

`=7(\frac{\sqrt{y^{2}-49}}{7}-arcsec(\frac{y}{7}))`

6. Carilah `\int \frac{(2x-1)}{\sqrt{x^{2}+4x+5}}dx`

Solusi:

Kita mengubah bentuk 

`\int \frac{2x-1}{\sqrt{x^{2}+4x+5}}dx = \int (\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+4x+5}}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+4x+5}})dx`

`=\int \frac{2x}{\sqrt{x^{2}+4x+5}}dx-\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4x+5}}dx`

`=\int \frac{2x}{\sqrt{(x+2)^{2}+1}}dx-\int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^{2}+1}}dx`

Substitusi `x+2=tan t\Leftrightarrow x=tant -2`

`\Leftrightarrow dx=sec^{2}t dt`

`\sqrt{(x+2)^{2}+1}=\sqrt{tan^{2}t+1}`

`=\sqrt{sec^{2}t}`

`=sec t`

Sehingga,

`\int \frac{(2x-1)}{\sqrt{x^{2}+4x+5}}dx=\int \frac{2x}{\sqrt{(x+2)^{2}+1}}dx-\int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^{2}+1}}dx`

`=\int \frac{2 (tant -2)(sec^{2}t dt)}{sect}-\int \frac{1(sec^{2}t dt)}{sect}`

`=\int 2 (tant -2)(sect dt)-\int sect dt`

`=\int (2 tant-4)(sect dt)-\int sect dt`

`=\int (2 tant sect dt-4sect dt)-\int sect dt`

`=\int (2 tant sect dt)-4\int sect dt-\int sect dt`

`=2 sect-5ln|sect+tant|+C`

`=2\sqrt{x^{2}+4x+5}-5ln|\sqrt{x^{2}+4x+5}+(x+2)|+C`

7. Carilah `\int \frac{dt}{\sqrt{25+t^{2}}}`

Solusi:

Substitusikan `t=5tan\theta \Leftrightarrow tan\theta=\frac{t}{5}`

`\Leftrightarrow dt=5sec^{2}\theta d\theta`

`\sqrt{25+t^{2}}=\sqrt{25+(5tan\theta)^{2}}`

`=\sqrt{25+25tan^{2}\theta}`

`=\sqrt{25(1+tan^{2}\theta)}`

`=5sec\theta`

Sehingga,

`\int \frac{dt}{\sqrt{25+t^{2}}}`

`=\int \frac{5sec^{2}\theta d\theta}{5sec\theta}`

`=\int sec\theta d\theta`

`=ln|sec\theta +tan\theta|+C`

`=ln|\frac{\sqrt{25+t^{2}}}{5}+\frac{t}{5}|+C`

`=ln|\frac{\sqrt{25+t^{2}}+t}{5}|+C`

`=ln|\sqrt{25+t^{2}}+t|-ln5+C`

`=ln|\sqrt{25+t^{2}}+t|+C`

Integral Fungsi Trigonometri

Hai hai teman-teman semua, kali ini kita akan membahas bersama mengenai teknik atau metode lain untuk mencari integral tak tentu dari sebuah fungsi. Dalam menyelesaikan soal-soal, teman-teman terkadang menemukan soal yang melibatkan fungsi trigonometri. Nah, berikut ini adalah rumus integral fungsi trigonometri.

`\int sinkx=\frac{-1}{k}coskx+C`

`\int coskx=\frac{1}{k}sinkx+C`

`\int sec^{2}kx=\frac{1}{k}tankx+C`

`\int tanxdx=ln|secx|+C=-ln|cosx|+C`

`\int cotxdx=-ln|cscx|+C=ln|sinx|+C`

`\int secxdx=ln|secx+tanx|+C`

`\int cscxdx=-ln|cscx+cotx|+C`

Contoh soal:

1. Hitunglah `\int sin^{2}tdt`

Solusi:

`\int sin^{2}tdt`

`=\int \frac{1-cos2t}{2}dt`

`=\int \frac{1}{2}(1-cos2t)dt`

`=\frac{1}{2}\int (1-cos2t)dt`

`=\frac{1}{2}(t-\frac{1}{2}sin2t)+C`

`=\frac{t}{2}-\frac{sin2t}{4}+C`

2. Tentukan `\int cos^{3}xsinxdx`

Solusi:

`\int cos^{3}xsinxdx`

`=\int cos^{3}x(-d(cosx))`

`=-\int cos^{3}xd(cosx)`

Misalkan `u=cosx`

`=-\int u^{3}du`

`=-\frac{u^{4}}{4}+C`

`=-\frac{cos^{4}x}{4}+C`

3. Carilah `\int sin^{4}2xcos2xdx`

Solusi:

Misal `u=sin2x` maka `du=2cos2xdx \rightarrow cos2xdx=\frac{du}{2}`

`\int sin^{4}2xcos2xdx`

`=\int u^{4}\frac{du}{2}`

`=\frac{1}{2}\int u^{4}du`

`=\frac{1}{2}(\frac{u^{5}}{5})+C`

`=\frac{1}{2}(\frac{sin^{5}2x}{5})+C`

`=\frac{1}{10}sin^{5}2x+C`

Gagasan umum dari integral fungsi trigonometri adalah menggunakan identitas trigonometri untuk mengubah integral yang harus dicari menjadi integral yang lebih mudah dikerjakan. Ada beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yaitu sebagai berikut.

A. Integral dari Pemangkatan Sinus dan Kosinus

Bentuk: `\int sin^{m}xdx` dan `\int cos^{m}xdx` dengan m bilangan ganjil atau genap positif.

-) Jika m bulat positif dan ganjil, maka m diubah menjadi `(m-1)+1`, atau m digenapkan terdekat. Lalu, gunakan kesamaan identitas `sin^{2}x+cos^{2}x=1`

-) Jika m bilangan bulat positif genap, maka penyelesaiannya dapat dicari dengan menggunakan identitas: `sin^{2}x=\frac{1-cos2x}{2}` dan `cos^{2}x=\frac{1+cos2x}{2}`

Contoh soal:

1. Tentukan `\int sin^{5}xdx`

Solusi:

`\int sin^{5}xdx=\int sin^{4}xsinxdx`

`=\int (sin^{2}x)^{2}sinxdx`

`=\int (1-cos^{2}x)^{2}sinxdx`

`=\int (1-2cos^{2}x+cos^{4}x)sinxdx`

`=\int (1-2cos^{2}x+cos^{4}x)(-d(cosx))`

`=-\int (1-2cos^{2}x+cos^{4}x)d(cosx)`

Misal `u=cosx`

`=-\int (1-2u^{2}+u^{4})du`

`=-(u-\frac{2u^{3}}{3}+\frac{u^{5}}{5})+C`

`=-cosx+\frac{2cos^{3}x}{3}-\frac{cos^{5}x}{5}+C`

`=-cosx+\frac{2}{3}cos^{3}x-\frac{1}{5}cos^{5}x+C`

2. Hitunglah `\int cos^{4}xdx`

Solusi:

`\int cos^{4}xdx`

`=\int (cos^{2}x)^{2}dx`

`=\int (\frac{1+cos2x}{2})^{2}dx`

`=\frac{1}{4}\int (1+cos2x)^{2}dx`

`=\frac{1}{4}\int (1+2cos2x+cos^{2}2x)dx`

`=\frac{1}{4}(\int dx+2\int cos2xdx+\int cos^{2}2xdx)`

`\rightarrow \int cos^{2}2xdx=\int \frac{1+cos4x}{2}dx`

`=\frac{1}{2}\int (1+cos4x)dx`

`=\frac{1}{2}(x+\frac{sin4x}{4})+C_{1}`

`=\frac{1}{2}x+\frac{sin4x}{8}+C_{1}`

`=\frac{1}{4}(x+\frac{2sin2x}{2}+\frac{1}{2}x+\frac{sin4x}{8})+C`

`=\frac{1}{4}x+\frac{sin2x}{4}+\frac{1}{8}x+\frac{sin4x}{32}+C`

`=\frac{3}{8}x+\frac{sin2x}{4}+\frac{sin4x}{32}+C`

B. Hasil Kali dari Pemangkatan Sinus dan Kosinus

Bentuk: `\int sin^{m}xcos^{n}xdx` dengan m atau n adalah bilangan bulat positif ganjil atau genap.

-) Jika m ganjil, kita menuliskan m sebagai `2k+1` dan menggunakan identitas `sin^{2}x=1-cos^{2}x` untuk memperoleh

`sin^{m}x=sin^{2k+1}x=(sin^{2}x)^{k}sinx=(1-cos^{2}x)^{k}sinx`.

Lalu, kita gabungkan `sinx` yang tunggal dengan `dx` pada integral dan menetapkan `sinxdx` sama dengan `-d(cosx)`.

-) Jika n ganjil, kita menuliskan n sebagai `2k+1` dan menggunakan identitas `cos^{2}x=1-sin^{2}x` untuk memperoleh

`cos^{n}x=cos^{2k+1}x=(cos^{2}x)^{k}cosx=(1-sin^{2}x)^{k}cosx`.

Lalu, kita gabungkan `cosx` yang tunggal dengan `dx` pada integral dan menetapkan `cosxdx` sama dengan `d(sinx)`.

-) Jika m dan n keduanya genap, kita menggunakan identitas trigonometri, yaitu `sin^{2}x=\frac{1-cos2x}{2}` dan `cos^{2}x=\frac{1+cos2x}{2}` untuk mereduksi integran menjadi fungsi dalam `cos2x` yang pangkatnya lebih rendah dari pangkat semula.

Agar lebih memahaminya, yuk simak contoh berikut!

1. Hitunglah `\int sin^{3}xcos^{3}xdx`

Solusi:

`\int sin^{3}xcos^{3}xdx`

`=\int sin^{3}xcos^{2}xcosxdx`

`=\int sin^{3}x(1-sin^{2}x)cosxdx`

`=\int (sin^{3}x-sin^{5}x)d(sinx)`

Misal `u=sinx`

`=\int (u^{3}-u^{5})du`

`=\frac{u^{4}}{4}-\frac{u^{6}}{6}+C`

`=\frac{sin^{4}x}{4}-\frac{sin^{6}x}{6}+C`

2. Tentukan `\int 16sin^{2}xcos^{2}xdx`

Solusi:

`\int 16sin^{2}xcos^{2}xdx`

`=16\int sin^{2}xcos^{2}xdx`

`=16\int (\frac{1-cos2x}{2})(\frac{1+cos2x}{2})dx`

`=16\int \frac{1}{4}(1-cos2x)(1+cos2x)dx`

`=4\int (1-cos2x)(1+cos2x)dx`

`=4\int (1-cos^{2}2x)dx`

`=4(\int dx-\int cos^{2}2xdx)`

`=4(x-\frac{1}{2}x-\frac{sin4x}{8})+C`

`=4(\frac{1}{2}x-\frac{sin4x}{8})+C`

`=2x-\frac{1}{2}sin4x+C`

C. Integral dari Pemangkatan Tangen dan Cotangen

Bentuk: `\int tan^{n}xdx` dan   `\int cot^{n}xdx`

-) Untuk kasus `\int tan^{n}xdx`, faktorkan `tanx` kemudian gunakan identitas `tan^{2}x=sec^{2}x-1`

-) Untuk kasus `\int cot^{n}xdx`, faktorkan `cotx` kemudian gunakan identitas `cot^{2}x=csc^{2}x-1`

Perhatikan contoh berikut yang melibatkan kasus-kasus di atas.

1. Hitunglah `\int cot^{6}2xdx`

Solusi:

`\int cot^{6}2xdx`

`=\int cot^{4}2x (cot^{2}2x)dx`

`=\int cot^{4}2x (csc^{2}2x-1)dx`

`=\int cot^{4}2x csc^{2}2xdx-\int cot^{4}2xdx`

`=\int cot^{4}2x csc^{2}2xdx-\int cot^{2}2x(cot^{2}2x)dx`

`=\int cot^{4}2x csc^{2}2xdx-\int cot^{2}2x(csc^{2}2x-1)dx`

`=\int cot^{4}2x (csc^{2}2x)dx-\int cot^{2}2x(csc^{2}2x)dx+\int cot^{2}2xdx`

`=\int cot^{4}2x csc^{2}2xdx-\int cot^{2}2xcsc^{2}2xdx+\int (csc^{2}2x-1)dx`

`=\int cot^{4}2x csc^{2}2xdx-\int cot^{2}2xcsc^{2}2xdx+\int csc^{2}2xdx-\int dx`

`=\int cot^{4}2x csc^{2}2xdx-\int cot^{2}2xcsc^{2}2xdx+\int csc^{2}2xdx-x+C`

Misalkan `u=cot2x` maka `du=-2csc^{2}2xdx\rightarrow csc^{2}2xdx=\frac{-du}{2}`

`= \int u^{4}(\frac{-du}{2})-\int u^{2}(\frac{-du}{2})+\int \frac{-du}{2}-x+C`

`=-\frac{1}{2}\int u^{4}du+\frac{1}{2}\int u^{2}du-\frac{1}{2}\int du-x+C`

`=\frac{1}{2}(-\int u^{4}du+\int u^{2}du-\int du)-x+C`

`=\frac{1}{2}(-\frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{3}}{3}-u)-x+C`

`=\frac{1}{2}(-\frac{cot^{5}2x}{5}+\frac{cot^{3}2x}{3}-cot2x)-x+C`

`=-\frac{1}{10}cot^{5}2x+\frac{1}{6}cot^{3}2x-\frac{1}{2}cot2x-x+C`

2. Tentukan `\int tan^{3}xdx`

Solusi:

`\int tan^{3}xdx`

`=\int tan^{2}xtanxdx`

`=\int (sec^{2}x-1)tanxdx`

`=\int sec^{2}xtanxdx-\int tanxdx`

`=\int tanxsec^{2}xdx-ln|secx|+C`

`=\int tanxd(tanx)-ln|secx|+C`

`=\frac{tan^{2}x}{2}-ln|secx|+C`

D. Hasil Kali dari Pemangkatan Tangen dan Secan

Bentuk: `\int tan^{m}xsec^{n}xdx`

Dalam menyelesaikan bentuk seperti di atas kita menggunakan identitas trigonometri, yaitu `1+tan^{2}x=sec^{2}x` dan `1+cot^{2}x=cosec^{2}x`.

Contoh soal:

1. Carilah `\int sec^{3}xtan^{3}xdx`

Solusi:

`\int sec^{3}xtan^{3}xdx`

`=\int sec^{2}xtan^{2}xsecxtanxdx`

`=\int sec^{2}x(sec^{2}x-1)secxtanxdx`

`=\int (sec^{4}x-sec^{2}x)secxtanxdx`

Misal `u=secx` maka `du=secx tanxdx`

`=\int (u^{4}-u^{2})du`

`=\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{3}}{3}+C`

`=\frac{sec^{5}x}{5}-\frac{sec^{3}x}{3}+C`

E. Hasil Kali Sinus dan Cosinus

Bentuk: `\int sinax(sinbx)dx, \int sinax(cosbx)dx, \int cosax(cosbx)dx`

Integral dari bentuk di atas dapat dihitung dengan menggunakan identitas yaitu sebagai berikut.

-) `sinax(sinbx)=\frac{1}{2}[cos(a-b)x-cos(a+b)x]`

-) `sinax(cosbx)=\frac{1}{2}[sin(a-b)x+sin(a+b)x]`

-) `cosax(cosbx)=\frac{1}{2}[cos(a-b)x+cos(a+b)x]`

Berikut contoh soal yang menggunakan identitas tersebut.

1. Tentukan `\int cos3xcos4xdx`

Solusi:

`\int cos3xcos4xdx`

`=\int \frac{1}{2}[cos(3-4)x+cos(3+4)x]dx`

`=\int \frac{1}{2}[cos(-x)+cos7x]dx`

`=\int \frac{1}{2}[cosx+cos7x]dx`

`=\frac{1}{2}\int [cosx+cos7x]dx`

`=\frac{1}{2}(sinx+\frac{sin7x}{7})+C`

`=\frac{1}{2}sinx+\frac{1}{14}sin7x+C`