Halo teman-teman, jumpa lagi kita untuk belajar matematika bersama di fun math notes. Nah, kali ini kita akan membahas tentang teknik substitusi fungsi trigonometri. Teknik ini digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk berikut:
√a2-x2,a>0,a∈R
√x2+a2=√a2+x2,a>0,a∈R
√x2-a2,a>0,a∈R
√x2+a2=√a2+x2,a>0,a∈R
√x2-a2,a>0,a∈R
Bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, yakni sebagai berikut.
√a2-b2x2=√(ab)2-x2
√a2+b2x2=√(ab)2+x2
√a2x2-b2=√x2-(ba)2
√a2+b2x2=√(ab)2+x2
√a2x2-b2=√x2-(ba)2
Selain bentuk-bentuk yang telah dipaparkan, teman-teman juga dapat mengubah bentuk √ax2+bx+c menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Substitusi yang paling umum adalah x=asint, x=atant, x=asect. Ketiganya akan kita bahas satu per satu.
1. √a2-x2 gunakan substitusi
x=asint atau sint=xa
x=asint maka dx=acostdt
Dengan -π2≤t≤π2 sehingga,
√a2-x2=√a2-(asint)2
=√a2-a2sin2t
=√a2(1-sin2t)
=√a2cos2t
=acost
2. √a2+x2 gunakan substitusi
x=atant atau tant=xa
x=atant maka dx=asec2tdt
Dengan -π2≤t≤π2 sehingga,
√a2+x2=√a2+(atant)2
=√a2(1+tan2t)
x=asect atau sect=xa
x=asect maka dx=asecttantdt
Dengan 0≤t<π2;(x≥a) dan π2≤t≤π;(x≤-a) sehingga,
√x2-a2=√(asect)2-a2
=√a2sec2t-a2
=√a2(sec2t-1)
=√a2(tan2t)
=atant
Nah, untuk dapat memahami bentuk-bentuk di atas, yuk simak contoh soal di bawah ini.
1. Hitunglah integral ∫3dx√1+9x2
Solusi:
Pertama, bentuk akar dituliskan sebagai
√1+9x2=√9(19+x2)
=3√19+x2
=3√(13)2+x2
agar yang diakarkan berubah menjadi bentuk a2+x2.
Kemudian, kita mensubstitusi
x=13tant
⇔dx=13sec2tdt
√1+9x2=3√(13)2+x2
=3√19+(13tant)2
=3√19(1+tan2t)
=3(13)√sec2t
=sect
Sehingga dengan substitusi kita memperoleh,
∫3dx√1+9x2
=∫3(13sec2tdt)sect
=∫sectdt
=ln|sect+tant|+C
=ln|√1+9x2+3x|+C
2. Tentukan integral ∫√16-x2dx
Solusi:
Substitusi x=4sint⇔sint=x4
⇔dx=4costdt
√16-x2=√16-(4sint)2
=√16(1-sin2t)
=4cost
Sehingga,
∫√16-x2dx
=∫4cost(4costdt)
=16∫cos2tdt
=16∫1+cos2t2dt
=8∫(1+cos2t)dt
=8(t+sin2t2)+C
=8t+4sin2t+C
=8t+4(2sintcost)+C
=8t+8(x4.√16-x24)+C
=8t+x√16-x22+C
=8arcsin(x4)+x√16-x22+C
3. Carilah ∫dx√x2-2x-8
Solusi:
Pertama, bentuk akar √x2-2x-8 kita ubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Proses dalam kuadrat sempurna:
x2-2x-8=0
x2-2x=8
x2-2x+1=8+1 → kedua ruas ditambah dengan (b2)2
x2-2x+1=9
(x-1)2=9
(x-1)2-9=0
Jadi, √x2-2x-8=√(x-1)2-9
√(x-1)2-9=√(3sect)2-9
=√9(sec2t-1)
=3tant
Kemudian, kita mensubstitusi
(x-1)=3sect⇔sect=x-13
x=3sect+1⇔dx=3secttantdt
Sehingga dengan substitusi kita memperoleh,
∫dx√x2-2x-8
=∫3secttantdt3tant
=∫sectdt
=ln|sect+tant|+C
=ln|x-13+√x2-2x-83|+C
=ln|(x-1)+(√x2-2x-8)3|+C
=ln|(x-1)+(√x2-2x-8)|-ln3+C
=ln|(x-1)+(√x2-2x-8)|+C
4. Tentukan ∫√1-9t2dt
Solusi:
Pertama, bentuk akar dituliskan sebagai
√1-9t2=√9(19-t2)
=3√(13)2-t2
agar yang diakarkan berubah menjadi bentuk a2-t2.
Kemudian, kita mensubstitusi
t=13sinθ⇔sinθ=3t
⇔dt=13cosθdθ
√1-9t2=3√(13)2-t2
=3√(13)2-(13sinθ)2
=3√(13)2-19(sin2θ)
=3√19(1-sin2θ)
=3(13)cosθ
=cosθ
Sehingga dengan substitusi kita memperoleh,
∫√1-9t2dt
=∫cosθ(13cosθdθ)
=13∫cos2θdθ
=13∫(1+cos2θ2)dθ
=16∫(1+cos2θ)dθ
=16(θ+sin2θ2)+C
=16(θ+sinθcosθ)+C
=16(arcsin(3t)+3t√1-9t2)
5. Tentukan ∫√y2-49ydy,y>7
Solusi:
Substitusi y=7sect⇔sect=y7
⇔dy=7secttantdt
√y2-49=√(7sect)2-49
=√49(sec2t-1)
=7tant
Sehingga,
∫√y2-49ydy
=∫7tant7sect(7secttantdt)
=7∫tan2tdt
=7∫(sec2-1)dt
=7(tant-t)
=7(√y2-497-arcsec(y7))
6. Carilah ∫(2x-1)√x2+4x+5dx
Solusi:
Kita mengubah bentuk
∫2x-1√x2+4x+5dx=∫(2x√x2+4x+5-1√x2+4x+5)dx
=∫2x√x2+4x+5dx-∫1√x2+4x+5dx
=∫2x√(x+2)2+1dx-∫1√(x+2)2+1dx
Substitusi x+2=tant⇔x=tant-2
⇔dx=sec2tdt
√(x+2)2+1=√tan2t+1
=√sec2t
=sect
Sehingga,
∫(2x-1)√x2+4x+5dx=∫2x√(x+2)2+1dx-∫1√(x+2)2+1dx
=∫2(tant-2)(sec2tdt)sect-∫1(sec2tdt)sect
=∫2(tant-2)(sectdt)-∫sectdt
=∫(2tant-4)(sectdt)-∫sectdt
=∫(2tantsectdt-4sectdt)-∫sectdt
=∫(2tantsectdt)-4∫sectdt-∫sectdt
=2sect-5ln|sect+tant|+C
=2√x2+4x+5-5ln|√x2+4x+5+(x+2)|+C
7. Carilah ∫dt√25+t2
Solusi:
Substitusikan t=5tanθ⇔tanθ=t5
⇔dt=5sec2θdθ
√25+t2=√25+(5tanθ)2
=√25+25tan2θ
=√25(1+tan2θ)
=5secθ
Sehingga,
∫dt√25+t2
=∫5sec2θdθ5secθ
=∫secθdθ
=ln|secθ+tanθ|+C
=ln|√25+t25+t5|+C
=ln|√25+t2+t5|+C
=ln|√25+t2+t|-ln5+C
=ln|√25+t2+t|+C
0 komentar:
Posting Komentar