Integral Substitusi Fungsi Trigonometri

Halo teman-teman, jumpa lagi kita untuk belajar matematika bersama di fun math notes. Nah, kali ini kita akan membahas tentang teknik substitusi fungsi trigonometri. Teknik ini digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk berikut:

`\sqrt{a^{2}-x^{2}},a> 0,a\in \mathbb{R}`
`\sqrt{x^{2}+a^{2}}=\sqrt{a^{2}+x^{2}},a> 0,a\in \mathbb{R}`
`\sqrt{x^{2}-a^{2}},a> 0,a\in \mathbb{R}`

Bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, yakni sebagai berikut.

`\sqrt{a^{2}-b^{2}x^{2}}=\sqrt{(\frac{a}{b})^{2}-x^{2}}`
`\sqrt{a^{2}+b^{2}x^{2}}=\sqrt{(\frac{a}{b})^{2}+x^{2}}`
`\sqrt{a^{2}x^{2}-b^{2}}=\sqrt{x^{2}-(\frac{b}{a})^{2}}`

Selain bentuk-bentuk yang telah dipaparkan, teman-teman juga dapat mengubah bentuk `\sqrt{ax^{2}+bx+c}` menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Substitusi yang paling umum adalah `x=a sint`, `x=a tant`, `x=a sect`. Ketiganya akan kita bahas satu per satu.

1. `\sqrt{a^{2}-x^{2}}` gunakan substitusi 

`x=a sint` atau `sint=\frac{x}{a}`

`x=a sint` maka `dx=a cost dt`

Dengan `-\frac{\pi }{2}\leq t\leq \frac{\pi }{2}` sehingga,

`\sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-(a sint)^{2}}`

`=\sqrt{a^{2}-a^{2}sin^{2}t}`

`=\sqrt{a^{2}(1-sin^{2}t)}`

`=\sqrt{a^{2}cos^{2}t}`

`=a cost`

2. `\sqrt{a^{2}+x^{2}}` gunakan substitusi

`x=a tant` atau `tant=\frac{x}{a}`

`x=a tant` maka `dx=a sec^{2}t dt`

Dengan `-\frac{\pi }{2}\leq t\leq \frac{\pi }{2}` sehingga,

`\sqrt{a^{2}+x^{2}}=\sqrt{a^{2}+(a tant)^{2}}`

`=\sqrt{a^{2}(1+tan^{2}t)}`

`=\sqrt{a^{2}sec^{2}t}`

`=a sect`

3. `\sqrt{x^{2}-a^{2}}` gunakan substitusi

`x=a sect` atau `sect=\frac{x}{a}`

`x=a sect` maka `dx=a sect tant dt`

Dengan `0\leq t< \frac{\pi }{2};(x\geq a)` dan `\frac{\pi }{2}\leq t\leq \pi ;(x\leq -a)` sehingga,

`\sqrt{x^{2}-a^{2}}= \sqrt{(a sect)^{2}-a^{2}}`

`=\sqrt{a^{2}sec^{2}t-a^{2}}`

`=\sqrt{a^{2}(sec^{2}t-1)}`

`=\sqrt{a^{2}(tan^{2}t)}`

`=a tant`

Nah, untuk dapat memahami bentuk-bentuk di atas, yuk simak contoh soal di bawah ini.

1. Hitunglah integral `\int \frac{3dx}{\sqrt{1+9x^{2}}}`

Solusi:

Pertama, bentuk akar dituliskan sebagai

`\sqrt{1+9x^{2}}=\sqrt{9(\frac{1}{9}+x^{2})}`

`=3\sqrt{\frac{1}{9}+x^{2}}`

`=3\sqrt{(\frac{1}{3})^{2}+x^{2}}`

agar yang diakarkan berubah menjadi bentuk `a^{2}+x^{2}`.

Kemudian, kita mensubstitusi

`x=\frac{1}{3}tant`

`\Leftrightarrow dx=\frac{1}{3}sec^{2}tdt`

`\sqrt{1+9x^{2}}=3\sqrt{(\frac{1}{3})^{2}+x^{2}}`

`=3\sqrt{\frac{1}{9}+(\frac{1}{3}tant)^{2}}`

`=3\sqrt{\frac{1}{9}(1+tan^{2}t)}`

`=3(\frac{1}{3})\sqrt{sec^{2}t}`

`=sect`

Sehingga dengan substitusi kita memperoleh,

`\int \frac{3dx}{\sqrt{1+9x^{2}}}`

`=\int \frac{3(\frac{1}{3}sec^{2}tdt)}{sect}`

`=\int sectdt`

`=ln|sect+tant|+C`

`=ln|\sqrt{1+9x^{2}}+3x|+C`

2. Tentukan integral `\int \sqrt{16-x^{2}}dx`

Solusi:

Substitusi `x=4sint \Leftrightarrow sint=\frac{x}{4}`

`\Leftrightarrow dx=4costdt`

`\sqrt{16-x^{2}}=\sqrt{16-(4sint)^{2}}`

`=\sqrt{16(1-sin^{2}t)}`

`=4cost`

Sehingga,

`\int \sqrt{16-x^{2}}dx`

`=\int 4cost(4 costdt)`

`=16\int cos^{2}tdt`

`=16\int \frac{1+cos2t}{2}dt`

`=8\int (1+cos2t)dt`

`=8(t+\frac{sin2t}{2})+C`

`=8t+4sin2t+C`

`=8t+4(2sintcost)+C`

`=8t+8(\frac{x}{4}.\frac{\sqrt{16-x^{2}}}{4})+C`

`=8t+\frac{x\sqrt{16-x^{2}}}{2}+C`

`=8 arcsin(\frac{x}{4})+\frac{x\sqrt{16-x^{2}}}{2}+C`

3. Carilah `\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-2x-8}}`

Solusi:

Pertama, bentuk akar `\sqrt{x^{2}-2x-8}` kita ubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Proses dalam kuadrat sempurna:

`x^{2}-2x-8=0`

`x^{2}-2x=8`

`x^{2}-2x+1=8+1` `\rightarrow` kedua ruas ditambah dengan `(\frac{b}{2})^{2}`

`x^{2}-2x+1=9`

`(x-1)^{2}=9`

`(x-1)^{2}-9=0`

Jadi, `\sqrt{x^{2}-2x-8}=\sqrt{(x-1)^{2}-9}`

`\sqrt{(x-1)^{2}-9}=\sqrt{(3sect)^{2}-9}`

`=\sqrt{9(sec^{2}t-1)}`

`=3tant`

Kemudian, kita mensubstitusi

`(x-1)=3sect\Leftrightarrow sect=\frac{x-1}{3}`

`x=3sect+1\Leftrightarrow dx=3sect tant dt`

Sehingga dengan substitusi kita memperoleh,

`\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}-2x-8}}`

`=\int \frac{3sect tant dt}{3tant}`

`=\int sect dt`

`=ln|sect+tant|+C`

`=ln|\frac{x-1}{3}+\frac{\sqrt{x^{2}-2x-8}}{3}|+C`

`=ln|\frac{(x-1)+(\sqrt{x^{2}-2x-8})}{3}|+C`

`=ln|(x-1)+(\sqrt{x^{2}-2x-8})|-ln3+C`

`=ln|(x-1)+(\sqrt{x^{2}-2x-8})|+C`

4. Tentukan `\int \sqrt{1-9t^{2}}dt`

Solusi:

Pertama, bentuk akar dituliskan sebagai

`\sqrt{1-9t^{2}}=\sqrt{9(\frac{1}{9}-t^{2})}`

`=3\sqrt{(\frac{1}{3})^{2}-t^{2}}`

agar yang diakarkan berubah menjadi bentuk `a^{2}-t^{2}`.

Kemudian, kita mensubstitusi

`t=\frac{1}{3}sin\theta \Leftrightarrow sin\theta=3t`

`\Leftrightarrow dt=\frac{1}{3}cos\theta d\theta`

`\sqrt{1-9t^{2}}=3\sqrt{(\frac{1}{3})^{2}-t^{2}}`

`=3\sqrt{(\frac{1}{3})^{2}-(\frac{1}{3}sin\theta)^{2}}`

`=3\sqrt{(\frac{1}{3})^{2}-\frac{1}{9}(sin^{2}\theta)}`

`=3\sqrt{\frac{1}{9}(1-sin^{2}\theta)}`

`=3(\frac{1}{3})cos\theta`

`=cos\theta`

Sehingga dengan substitusi kita memperoleh,

`\int \sqrt{1-9t^{2}} dt`

`=\int cos\theta (\frac{1}{3}cos\theta d\theta)`

`=\frac{1}{3}\int cos^{2}\theta d\theta`

`=\frac{1}{3}\int (\frac{1+cos2\theta}{2})d\theta`

`=\frac{1}{6}\int (1+cos2\theta) d\theta`

`=\frac{1}{6}(\theta +\frac{sin2\theta}{2})+C`

`=\frac{1}{6}(\theta +sin\theta cos\theta)+C`

`=\frac{1}{6}(arcsin(3t)+3t\sqrt{1-9t^{2}})`

5. Tentukan `\int \frac{\sqrt{y^{2}-49}}{y}dy, y> 7` 

Solusi:

Substitusi `y=7 sect\Leftrightarrow sect=\frac{y}{7}`

`\Leftrightarrow dy=7 sect tant dt`

`\sqrt{y^{2}-49}=\sqrt{(7 sect)^{2}-49}`

`=\sqrt{49(sec^{2}t-1)}`

`=7tan t`

Sehingga,

`\int \frac{\sqrt{y^{2}-49}}{y}dy`

`=\int \frac{7tan t}{7 sect}(7 sect tant dt)`

`=7\int tan^{2}tdt`

`=7\int (sec^{2}-1)dt`

`=7(tant-t)`

`=7(\frac{\sqrt{y^{2}-49}}{7}-arcsec(\frac{y}{7}))`

6. Carilah `\int \frac{(2x-1)}{\sqrt{x^{2}+4x+5}}dx`

Solusi:

Kita mengubah bentuk 

`\int \frac{2x-1}{\sqrt{x^{2}+4x+5}}dx = \int (\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+4x+5}}-\frac{1}{\sqrt{x^{2}+4x+5}})dx`

`=\int \frac{2x}{\sqrt{x^{2}+4x+5}}dx-\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+4x+5}}dx`

`=\int \frac{2x}{\sqrt{(x+2)^{2}+1}}dx-\int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^{2}+1}}dx`

Substitusi `x+2=tan t\Leftrightarrow x=tant -2`

`\Leftrightarrow dx=sec^{2}t dt`

`\sqrt{(x+2)^{2}+1}=\sqrt{tan^{2}t+1}`

`=\sqrt{sec^{2}t}`

`=sec t`

Sehingga,

`\int \frac{(2x-1)}{\sqrt{x^{2}+4x+5}}dx=\int \frac{2x}{\sqrt{(x+2)^{2}+1}}dx-\int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^{2}+1}}dx`

`=\int \frac{2 (tant -2)(sec^{2}t dt)}{sect}-\int \frac{1(sec^{2}t dt)}{sect}`

`=\int 2 (tant -2)(sect dt)-\int sect dt`

`=\int (2 tant-4)(sect dt)-\int sect dt`

`=\int (2 tant sect dt-4sect dt)-\int sect dt`

`=\int (2 tant sect dt)-4\int sect dt-\int sect dt`

`=2 sect-5ln|sect+tant|+C`

`=2\sqrt{x^{2}+4x+5}-5ln|\sqrt{x^{2}+4x+5}+(x+2)|+C`

7. Carilah `\int \frac{dt}{\sqrt{25+t^{2}}}`

Solusi:

Substitusikan `t=5tan\theta \Leftrightarrow tan\theta=\frac{t}{5}`

`\Leftrightarrow dt=5sec^{2}\theta d\theta`

`\sqrt{25+t^{2}}=\sqrt{25+(5tan\theta)^{2}}`

`=\sqrt{25+25tan^{2}\theta}`

`=\sqrt{25(1+tan^{2}\theta)}`

`=5sec\theta`

Sehingga,

`\int \frac{dt}{\sqrt{25+t^{2}}}`

`=\int \frac{5sec^{2}\theta d\theta}{5sec\theta}`

`=\int sec\theta d\theta`

`=ln|sec\theta +tan\theta|+C`

`=ln|\frac{\sqrt{25+t^{2}}}{5}+\frac{t}{5}|+C`

`=ln|\frac{\sqrt{25+t^{2}}+t}{5}|+C`

`=ln|\sqrt{25+t^{2}}+t|-ln5+C`

`=ln|\sqrt{25+t^{2}}+t|+C`