Integral Substitusi Fungsi Trigonometri

Halo teman-teman, jumpa lagi kita untuk belajar matematika bersama di fun math notes. Nah, kali ini kita akan membahas tentang teknik substitusi fungsi trigonometri. Teknik ini digunakan untuk menyelesaikan integral jika integrannya memuat bentuk-bentuk berikut:

a2-x2,a>0,aR
x2+a2=a2+x2,a>0,aR
x2-a2,a>0,aR

Bentuk lain yang dapat diubah menjadi bentuk di atas, yakni sebagai berikut.

a2-b2x2=(ab)2-x2
a2+b2x2=(ab)2+x2
a2x2-b2=x2-(ba)2

Selain bentuk-bentuk yang telah dipaparkan, teman-teman juga dapat mengubah bentuk ax2+bx+c menjadi bentuk kuadrat sempurna.

Substitusi yang paling umum adalah x=asint, x=atant, x=asect. Ketiganya akan kita bahas satu per satu.
1. a2-x2 gunakan substitusi 
x=asint atau sint=xa
x=asint maka dx=acostdt
Dengan -π2tπ2 sehingga,
a2-x2=a2-(asint)2
=a2-a2sin2t
=a2(1-sin2t)
=a2cos2t
=acost









2. a2+x2 gunakan substitusi
x=atant atau tant=xa
x=atant maka dx=asec2tdt
Dengan -π2tπ2 sehingga,
a2+x2=a2+(atant)2
=a2(1+tan2t)
=a2sec2t
=asect



3. x2-a2 gunakan substitusi
x=asect atau sect=xa
x=asect maka dx=asecttantdt
Dengan 0t<π2;(xa) dan π2tπ;(x-a) sehingga,
x2-a2=(asect)2-a2
=a2sec2t-a2
=a2(sec2t-1)
=a2(tan2t)
=atant








Nah, untuk dapat memahami bentuk-bentuk di atas, yuk simak contoh soal di bawah ini.
1. Hitunglah integral 3dx1+9x2
Solusi:








Pertama, bentuk akar dituliskan sebagai
1+9x2=9(19+x2)
=319+x2
=3(13)2+x2
agar yang diakarkan berubah menjadi bentuk a2+x2.

Kemudian, kita mensubstitusi
x=13tant
dx=13sec2tdt

1+9x2=3(13)2+x2
=319+(13tant)2
=319(1+tan2t)
=3(13)sec2t
=sect

Sehingga dengan substitusi kita memperoleh,
3dx1+9x2
=3(13sec2tdt)sect
=sectdt
=ln|sect+tant|+C
=ln|1+9x2+3x|+C

2. Tentukan integral 16-x2dx
Solusi:








Substitusi x=4sintsint=x4
dx=4costdt

16-x2=16-(4sint)2
=16(1-sin2t)
=4cost

Sehingga,
16-x2dx
=4cost(4costdt)
=16cos2tdt
=161+cos2t2dt
=8(1+cos2t)dt
=8(t+sin2t2)+C
=8t+4sin2t+C
=8t+4(2sintcost)+C
=8t+8(x4.16-x24)+C
=8t+x16-x22+C
=8arcsin(x4)+x16-x22+C

3. Carilah dxx2-2x-8
Solusi:









Pertama, bentuk akar x2-2x-8 kita ubah menjadi bentuk kuadrat sempurna.
Proses dalam kuadrat sempurna:
x2-2x-8=0
x2-2x=8
x2-2x+1=8+1 kedua ruas ditambah dengan (b2)2
x2-2x+1=9
(x-1)2=9
(x-1)2-9=0
Jadi, x2-2x-8=(x-1)2-9

(x-1)2-9=(3sect)2-9
=9(sec2t-1)
=3tant

Kemudian, kita mensubstitusi
(x-1)=3sectsect=x-13
x=3sect+1dx=3secttantdt

Sehingga dengan substitusi kita memperoleh,
dxx2-2x-8
=3secttantdt3tant
=sectdt
=ln|sect+tant|+C
=ln|x-13+x2-2x-83|+C
=ln|(x-1)+(x2-2x-8)3|+C
=ln|(x-1)+(x2-2x-8)|-ln3+C
=ln|(x-1)+(x2-2x-8)|+C

4. Tentukan 1-9t2dt
Solusi:








Pertama, bentuk akar dituliskan sebagai
1-9t2=9(19-t2)
=3(13)2-t2
agar yang diakarkan berubah menjadi bentuk a2-t2.

Kemudian, kita mensubstitusi
t=13sinθsinθ=3t
dt=13cosθdθ

1-9t2=3(13)2-t2
=3(13)2-(13sinθ)2
=3(13)2-19(sin2θ)
=319(1-sin2θ)
=3(13)cosθ
=cosθ

Sehingga dengan substitusi kita memperoleh,
1-9t2dt
=cosθ(13cosθdθ)
=13cos2θdθ
=13(1+cos2θ2)dθ
=16(1+cos2θ)dθ
=16(θ+sin2θ2)+C
=16(θ+sinθcosθ)+C
=16(arcsin(3t)+3t1-9t2)

5. Tentukan y2-49ydy,y>7 
Solusi:








Substitusi y=7sectsect=y7
dy=7secttantdt

y2-49=(7sect)2-49
=49(sec2t-1)
=7tant

Sehingga,
y2-49ydy
=7tant7sect(7secttantdt)
=7tan2tdt
=7(sec2-1)dt
=7(tant-t)
=7(y2-497-arcsec(y7))

6. Carilah (2x-1)x2+4x+5dx
Solusi:








Kita mengubah bentuk 
2x-1x2+4x+5dx=(2xx2+4x+5-1x2+4x+5)dx
=2xx2+4x+5dx-1x2+4x+5dx
=2x(x+2)2+1dx-1(x+2)2+1dx

Substitusi x+2=tantx=tant-2
dx=sec2tdt

(x+2)2+1=tan2t+1
=sec2t
=sect

Sehingga,
(2x-1)x2+4x+5dx=2x(x+2)2+1dx-1(x+2)2+1dx
=2(tant-2)(sec2tdt)sect-1(sec2tdt)sect
=2(tant-2)(sectdt)-sectdt
=(2tant-4)(sectdt)-sectdt
=(2tantsectdt-4sectdt)-sectdt
=(2tantsectdt)-4sectdt-sectdt
=2sect-5ln|sect+tant|+C
=2x2+4x+5-5ln|x2+4x+5+(x+2)|+C

7. Carilah dt25+t2
Solusi:








Substitusikan t=5tanθtanθ=t5
dt=5sec2θdθ

25+t2=25+(5tanθ)2
=25+25tan2θ
=25(1+tan2θ)
=5secθ

Sehingga,
dt25+t2
=5sec2θdθ5secθ
=secθdθ
=ln|secθ+tanθ|+C
=ln|25+t25+t5|+C
=ln|25+t2+t5|+C
=ln|25+t2+t|-ln5+C
=ln|25+t2+t|+C

0 komentar:

Posting Komentar