Integral Fungsi Rasional-Kuadrat

Pada pembahasan kali ini, kita akan membahas tentang integral fungsi rasional-kuadrat. Sebelumnya kita telah membahas bentuk penyebut integran yang dinyatakan dalam faktor linear berbeda dan berulang. Bentuk lainnya adalah penyebut integran difaktorkan dalam kombinasi linear dan kuadrat. Artinya penyebut dapat difaktorkan dalam bentuk kombinasi linear dengan kuadrat atau kuadrat dengan kuadrat. Selanjutnya integran dengan bentuk seperti ini dijadikan jumlah pecahan n parsial `\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{ax+b}+\frac{Bx+C}{px^{2}+qx+r}`, berdasarkan jumlah tersebut dapat ditentukan A, B, dan C.

Agar lebih memahaminya perhatikan contoh-contoh berikut.

1. Tentukan `int \frac{-2x+4}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}dx`

Solusi:

Penyebut adalah kombinasi linear berulang `(x-1)^{2}` dengan kuadrat `(x^{2}+1)`, sehingga

`\int \frac{-2x+4}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}dx=\int \frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{(Ax+B)(x-1)^{2}+C(x^{2}+1)(x-1)+D(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{(Ax+B)(x^{2}-2x+1)+C(x^{3}-x^{2}+x-1)+D(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{Ax^{3}-2Ax^{2}+Ax+Bx^{2}-2Bx+B+Cx^{3}-Cx^{2}+Cx-C+Dx^{2}+D}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{(A+C)x^{3}+(-2A+B-C+D)x^{2}+(A-2B+C)x+(B-C+D)}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}dx`

Diperoleh:

Koefisien `x^{3}`: `A+C=0`

Koefisien `x^{2}`: `-2A+B-C+D=0`

Koefisien `x^{1}`: `A-2B+C=-2`

Koefisien `x^{0}`: `B-C+D=4`

Dengan menggunakan eliminasi variabel dan substitusi diperoleh `A=2`, `B=1`, `C=-2`, dan `D=1`.

Sehingga,

`\int \frac{-2x+4}{(x^{2}+1)(x-1)^{2}}dx=\int \frac{Ax+B}{x^{2}+1}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{2x+1}{x^{2}+1}-\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int (\frac{2x}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1}-\frac{2}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^{2}})dx`

`=ln|x^{2}+1|+arctanx-2ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C`

2. Tentukan `\int \frac{3x^{2}+x+4}{x^{3}+x}dx`

Solusi:

`\int \frac{3x^{2}+x+4}{x^{3}+x}dx=\int \frac{3x^{2}+x+4}{x(x^{2}+1)}dx`

`=\int \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}dx`

`=\int \frac{A(x^{2}+1)+(Bx+C)(x)}{x(x^{2}+1)}dx`

`=\int \frac{Ax^{2}+A+Bx^{2}+Cx}{x^{3}+x}dx`

`=\int \frac{(A+B)x^{2}+Cx+A}{x^{3}+x}dx`

Koefisien `x^{2}`: `A+B=3`

Koefisien `x^{1}`: `C=1`

Koefisien `x^{0}`: `A=4`

Substitusi nilai `A=4` pada persamaan (1) sehingga diperoleh `B=-1`. 

Jadi,

`\int \frac{3x^{2}+x+4}{x^{3}+x}dx=\int \frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^{2}+1}dx`

`=\int \frac{4}{x}+\frac{(-x+1)}{x^{2}+1}dx`

`=\int \frac{4}{x}+\frac{(-x)}{x^{2}+1}+\frac{1}{x^{2}+1}dx`

`=\int \frac{4}{x}dx-\int \frac{x}{x^{2}+1}dx+\int \frac{1}{x^{2}+1}dx`

`=4ln|x|-\frac{1}{2}ln|x^{2}+1|+arctanx+C`

3. Carilah `\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3x^{2}+2}dx`

Solusi:

`\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3x^{2}+2}dx=\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}dx`

`=\int \frac{Ax+B}{(x^{2}+1)}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+2)}dx`

`=\int \frac{(Ax+B)(x^{2}+2)+(Cx+D)(x^{2}+1)}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}dx`

`=\int \frac{Ax^{3}+2Ax+Bx^{2}+2B+Cx^{3}+Cx+Dx^{2}+D}{(x^{2}+1)(x^{2}+2)}dx`

`=\int \frac{(A+C)x^{3}+(B+D)x^{2}+(2A+C)x+(2B+D)}{x^{4}+3x^{2}+2}dx`

Diperoleh:

Koefisien `x^{3}`: `A+C=1`

Koefisien `x^{2}`: `B+D=1`

Koefisien `x^{1}`: `2A+C=1`

Koefisien `x^{0}`: `2B+D=2`

Dengan menggunakan eliminasi variabel dan substitusi diperoleh `A=0`, `B=1`, `C=1`, dan `D=0` sehingga:

`\int \frac{x^{3}+x^{2}+x+2}{x^{4}+3x^{2}+2}dx=\int \frac{Ax+B}{(x^{2}+1)}+\frac{Cx+D}{(x^{2}+2)}dx`

`=\int \frac{1}{(x^{2}+1)}+\frac{x}{(x^{2}+2)}dx`

`=\int \frac{1}{x^{2}+1}dx+\int \frac{x}{x^{2}+2}dx`

`=arctanx+\frac{1}{2}ln|x^{2}+2|+C`

4. Tentukan integral `\int \frac{y^{2}+2y+1}{(y^{2}+1)^{2}}dy`

Solusi:

`\int \frac{y^{2}+2y+1}{(y^{2}+1)^{2}}dy=\int \frac{Ay+B}{(y^{2}+1)}+\frac{Cy+D}{(y^{2}+1)^{2}}dy`

`=\int \frac{(Ay+B)(y^{2}+1)+Cy+D}{(y^{2}+1)^{2}}dy`

`=\int \frac{Ay^{3}+Ay+By^{2}+B+Cy+D}{(y^{2}+1)^{2}}dy`

`=\int \frac{Ay^{3}+By^{2}+(A+C)y+(B+D)}{(y^{2}+1)^{2}}dy`

Diperoleh:

Koefisien `y^{3}`: `A=0`

Koefisien `y^{2}`: `B=1`

Koefisien `y^{1}`: `A+C=2`

Koefisien `y^{0}`: `B+D=1`

Sehingga dengan substitusi nilai `A=0` dan `B=1` diperoleh `C=2` dan `D=0`.

Jadi,

`\int \frac{y^{2}+2y+1}{(y^{2}+1)^{2}}dy=\int \frac{Ay+B}{(y^{2}+1)}+\frac{Cy+D}{(y^{2}+1)^{2}}dy`

`=\int \frac{1}{(y^{2}+1)}+\frac{2y}{(y^{2}+1)^{2}}dy`

`=\int \frac{1}{(y^{2}+1)}dy+\int \frac{2y}{(y^{2}+1)^{2}}dy`

`=arctany-\frac{1}{y^{2}+1}+C`

5. Tentukan `\int \frac{x^{3}-4x}{x^{2}+1}dx`

Solusi:

Integran bukan fungsi rasional sejati maka penyelesaiannya adalah:

`\int \frac{x^{3}-4x}{x^{2}+1}dx=\int (x-\frac{5x}{x^{2}+1})dx`

`=\int xdx-\int \frac{5x}{x^{2}+1}dx`

`=\frac{x^{2}}{2}-5\int \frac{x}{x^{2}+1}dx`

`=\frac{x^{2}}{2}-5(\frac{1}{2})(ln|x^{2}+1|)+C`

`=\frac{x^{2}}{2}-\frac{5}{2}ln|x^{2}+1|+C`

`=\frac{x^{2}}{2}-ln|x^{2}+1|^{\frac{5}{2}}+C`

`=\frac{x^{2}}{2}-ln\sqrt{(x^{2}+1)^{5}}+C`