Integral Fungsi Rasional-Linear

Sebelumnya, kita telah membahas beberapa teknik dalam menyelesaikan integral suatu fungsi. Dan, kali ini kita akan membahas lagi teknik atau metode lain dalam mencari integral fungsi khususnya fungsi rasional-linear. Fungsi rasional adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}`, dimana `f(x)`, `g(x)` adalah fungsi pangkat banyak (polinom) dan `g(x)\ne 0`. Polinom adalah suatu fungsi yang dinyatakan dengan `f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{n}x^{n}, n=1,2,3,...`, sehingga fungsi rasional adalah fungsi berbentuk `\frac{f(x)}{g(x)}` yang pembilang dan penyebutnya polinom.

Fungsi rasional dibagi menjadi dua jenis, yaitu fungsi rasional sejati dan fungsi rasional tidak sejati. Suatu fungsi dikatakan fungsi rasional sejati bila derajat pembilang lebih kecil dari derajat penyebut. Jika derajat pembilang lebih besar atau sama dengan derajat penyebut maka fungsi tersebut termasuk dalam fungsi rasional tidak sejati. Perhatikan contoh berikut.

1. `F(x)=\frac{1-x}{x^{2}-3x+2}`  (fungsi rasional sejati)

2. `F(x)=\frac{x^{2}-4}{x^{2}-4x+4}`  (fungsi rasional tidak sejati)

3. `F(x)=\frac{x^{5}-2x^{3}-x+1}{x^{3}+5x}`  (fungsi rasional tidak sejati)

Jika suatu fungsi rasional termasuk jenis tidak sejati, maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati. Melalui proses pembagian panjang akan diperoleh fungsi rasional sejati.

Langkah-langkah dalam menentukan integral fungsi rasional, yaitu sebagai berikut.

1. Nyatakan integrannya dalam bentuk fungsi rasional sejati.

2. Faktorkan penyebut `g(x)` dari fungsi rasional `F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}`sampai tidak dapat difaktorkan lagi.

3. Dalam hal langkah nomor 2 di atas, `g(x)` dapat berupa kombinasi antara:

-) fungsi linear berbeda, `g(x)=(x-a)(x-b)...(x-t)` dst.

-) fungsi linear berulang, `g(x)=(x-a)^{n}=(x-a)(x-a)(x-a)...(x-a)`

-) fungsi linear dan kuadrat, `g(x)=(x-a)(ax^{2}+bx+c)`                                         

-) fungsi kuadrat berbeda, `g(x)=(ax^{2}+bx+c)(px^{2}+qx+c)`

-) fungsi kuadrat berulang, `g(x)=(ax^{2}+bx+c)^{n}`

4. Nyatakan integran menjadi bentuk penjumlahan n-pecahan parsial sehingga integran dapat ditentukan antiturunannya,

Misal: 

`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_{1}}{ax_{1}+b_{1}}+\frac{A_{2}}{ax_{2}+b_{2}}+...`  (penyebut kombinasi linear berbeda)

`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_{1}}{(ax+b)}+\frac{A_{2}}{(ax+b)^{2}}+\frac{A_{3}}{(ax+b)^{3}}+...`  (penyebut kombinasi linear berulang)

`\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A_{1}x+B_{1}}{a_{1}x^{2}b_{1}x+c_{1}}+\frac{A_{2}x+B_{2}}{a_{2}x^{2}b_{2}x+c_{2}}+...`  (penyebut kombinasi kuadrat berbeda)

5. Integralkan secara keseluruhan jumlah n-pecahan parsial tersebut yang merupakan hasil akhir pengintegralan dengan terlebih dahulu menentukan konstanta `A_{1},A_{2},A_{3},...,A_{n}` dan `B_{1},B_{2},B_{3},...,B_{n}`

Agar teman-teman lebih memahaminya, yuk simak contoh-contoh berikut!

1. Gunakan pecahan parsial untuk menghitung `\int \frac{2x+2}{x^{2}-2x+1}dx`

Solusi:

`\int \frac{2x+2}{x^{2}-2x+1}dx=\int \frac{2x+2}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{A(x-1)+B}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{Ax+(-A+B)}{x^{2}-2x+1}dx`

Diperoleh

Koefisien `x^{1}`: `A=2`

Koefisien `x^{0}`: `-A+B=2`

Didapatkan penyelesaian `A=2` dan `B=4`, sehingga

`\int \frac{2x+2}{x^{2}-2x+1}dx=\int \frac{A}{(x-1)}+\frac{B}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{2}{(x-1)}+\frac{4}{(x-1)^{2}}dx`

`=2\int \frac{1}{x-1}dx+4\int \frac{1}{(x-1)^{2}}dx`

`=2\int \frac{1}{x-1}dx+4\int (x-1)^{-2}dx`

`=2ln|x-1|-4(\frac{1}{x-1})+C`

`=2ln|x-1|-\frac{4}{x-1}+C`

2. Gunakan pecahan parsial untuk menghitung `\int \frac{x^{6}-4x^{3}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx`

Solusi:

Karena integran bukan fungsi rasional sejati maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati terlebih dahulu melalui proses pembagian.

`\int \frac{x^{6}-4x^{3}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx=\int x^{3}+4x^{2}+16x+60+\frac{240x^{2}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx`

`=\int (x^{3}+4x^{2}+16x+60)dx+\int \frac{240x^{2}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx`

`=\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+\frac{16x^{2}}{2}+60x+\int \frac{240x^{2}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx`

Selanjutnya dicari `\int \frac{240x^{2}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx`

`\int \frac{240x^{2}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx=\int \frac{240x^{2}+4}{x^{2}(x-4)}dx`

`=\int \frac{A}{x^{2}}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x-4}dx`

`=\int \frac{A(x-4)+B(x)(x-4)+C(x^{2})}{x^{2}(x-4)}dx`

`=\int \frac{(B+C)x^{2}+(A-4B)x-4A}{x^{3}-4x^{2}}dx`

Diperoleh

Koefisien `x^{2}`: `B+C=240`

Koefisien `x^{1}`: `A-4B=0`

Koefisien `x^{0}`: `-4A=4`

Didapatkan penyelesaian `A=-1`, `B=-\frac{1}{4}`, dan `C=\frac{961}{4}`

`\int \frac{240x^{2}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx=\int \frac{A}{x^{2}}+\frac{B}{x}+\frac{C}{x-4}dx`

`=\int \frac{-1}{x^{2}}-\frac{1}{4}(\frac{1}{x})+\frac{961}{4}(\frac{1}{x-4})dx`

`=-1\int x^{-2}dx-\frac{1}{4}\int \frac{1}{x}dx+\frac{961}{4}\int \frac{1}{x-4}dx`

`=\frac{1}{x}-\frac{1}{4}ln|x|+\frac{961}{4}ln|x-4|+C`

Jadi,

`\int \frac{x^{6}-4x^{3}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx=\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+\frac{16x^{2}}{2}+60x+\int \frac{240x^{2}+4}{x^{3}-4x^{2}}dx`

`=\frac{x^{4}}{4}+\frac{4x^{3}}{3}+8x^{2}+60x+\frac{1}{x}-\frac{1}{4}ln|x|+\frac{961}{4}ln|x-4|+C`

3. Gunakan pecahan parsial untuk menghitung `\int \frac{x^{2}+4x+1}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx`

Solusi:

`\int \frac{x^{2}+4x+1}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx=\int \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+3}dx`

`=\int \frac{A(x+1)(x+3)+B(x-1)(x+3)+C(x-1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx`

`=\int \frac{A(x^{2}+4x+3)+B(x^{2}+2x-3)+C(x^{2}-1)}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx`

`=\int \frac{(A+B+C)x^{2}+(4A+2B)x+(3A-3B-C)}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx`

Diperoleh

Koefisien `x^{2}`: `A+B+C=1`

Koefisien `x^{1}`: `4A+2B=4`

Koefisien `x^{0}`: `3A-3B-C=1`

Selanjutnya, kita menggunakan eliminasi variabel untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan A, B, dan C yang tidak diketahui. Didapatkan penyelesaian `A=\frac{3}{4}`, `B=\frac{1}{2}`, dan `C=-\frac{1}{4}`, sehingga

`\int \frac{x^{2}+4x+1}{(x-1)(x+1)(x+3)}dx=\int \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+3}dx`

`=\int (\frac{3}{4}\frac{1}{x-1}+\frac{1}{2}\frac{1}{x+1}-\frac{1}{4}\frac{1}{x+3})dx`

`=\frac{3}{4}\int \frac{1}{x-1}dx+\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}dx-\frac{1}{4}\int \frac{1}{x+3}dx`

`=\frac{3}{4}ln|x-1|+\frac{1}{2}ln|x+1|-\frac{1}{4}ln|x+3|+C`

4. Gunakan pecahan parsial untuk menghitung `\int \frac{2x+1}{x^{2}-7x+12}dx`

Solusi:

`\int \frac{2x+1}{x^{2}-7x+12}dx=\int \frac{2x+1}{(x-4)(x-3)}dx`

`=\int \frac{A}{x-4}+\frac{B}{x-3}dx`

`=\int \frac{A(x-3)+B(x-4)}{(x-4)(x-3)}dx`

`=\int \frac{(A+B)x+(-3A-4B)}{x^{2}-7x+12}dx`

Diperoleh

Koefisien `x^{1}`: `A+B=2`

Koefisien `x^{0}`: `-3A-4B=1`

Selanjutnya, kita menggunakan eliminasi variabel untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan A, B, dan C yang tidak diketahui. Didapatkan penyelesaian `A=9` dan `B=-7`, sehingga

`\int \frac{2x+1}{x^{2}-7x+12}dx=\int \frac{A}{x-4}+\frac{B}{x-3}dx`

`=\int \frac{9}{x-4}-\frac{7}{x-3}dx`

`=9ln|x-4|-7ln|x-3|+C`

`=ln|x-4|^{9}-ln|x-3|^{7}+C`

`=ln|\frac{(x-4)^{9}}{(x-3)^{7}}|+C`

5. Gunakan pecahan parsial untuk menghitung `\int \frac{x^{3}}{x^{2}+2x+1}dx`

Solusi:

Karena integran bukan fungsi rasional sejati maka fungsi tersebut dijadikan fungsi rasional sejati terlebih dahulu melalui proses pembagian.

`\int \frac{x^{3}}{x^{2}+2x+1}dx=\int (x-2)+\frac{3x+2}{x^{2}+2x+1}dx`

`=\int xdx-\int 2dx+\int \frac{3x+2}{x^{2}+2x+1}dx`

`=\frac{x^{2}}{2}-2x+\int \frac{3x+2}{x^{2}+2x+1}dx`

Selanjutnya dicari `\int \frac{3x+2}{x^{2}+2x+1}dx`

`\int \frac{3x+2}{x^{2}+2x+1}dx=\int \frac{3x+2}{(x+1)^{2}}dx`

`=\int \frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}dx`

`=\int \frac{A(x+1)+B}{(x+1)^{2}}dx`

`=\int \frac{Ax+(A+B)}{x^{2}+2x+1}dx`

Diperoleh

Koefisien `x^{1}`: `A=3`

Koefisien `x^{0}`: `A+B=2`

Didapatkan penyelesaian `A=3` dan `B=-1`, sehingga

`\int \frac{3x+2}{x^{2}+2x+1}dx=\int \frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^{2}}dx`

`=\int \frac{3}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^{2}}dx`

`=3\int \frac{1}{x+1}dx-\int (x+1)^{-2}dx`

`=3ln|x+1|+\frac{1}{x+1}`

Jadi,

`\int \frac{x^{3}}{x^{2}+2x+1}dx=\frac{x^{2}}{2}-2x+\int \frac{3x+2}{x^{2}+2x+1}dx`

`=\frac{x^{2}}{2}-2x+3ln|x+1|+\frac{1}{x+1}+C`

6. Gunakan pecahan parsial untuk menghitung `\int \frac{3x+5}{x^{3}-x^{2}-x+1}dx`

Solusi:

`\int \frac{3x+5}{x^{3}-x^{2}-x+1}dx=\int \frac{3x+5}{(x+1)(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{A(x-1)^{2}+B(x+1)(x-1)+C(x+1)}{(x+1)(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{A(x^{2}-2x+1)+B(x^{2}-1)+C(x+1)}{x^{3}-x^{2}-x+1}dx`

`=\int \frac{(A+B)x^{2}+(-2A+C)x+(A-B+C)}{x^{3}-x^{2}-x+1}dx`

Diperoleh

Koefisien `x^{2}`: `A+B=0`

Koefisien `x^{1}`: `-2A+C=3`

Koefisien `x^{0}`: `A-B+C=5`

Selanjutnya, kita menggunakan eliminasi variabel untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan A, B, dan C yang tidak diketahui. Didapatkan penyelesaian `A=\frac{1}{2}`, `B=-\frac{1}{2}`, dan `C=4`, sehingga

`\int \frac{3x+5}{x^{3}-x^{2}-x+1}dx=\int \frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{(x-1)^{2}}dx`

`=\int \frac{1}{2}(\frac{1}{x+1})-\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1})+\frac{4}{(x-1)^{2}}dx`

`=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}dx+4\int (x-1)^{-2}dx`

`=\frac{1}{2}ln|x+1|-\frac{1}{2}ln|x-1|-4(\frac{1}{x-1})+C`

`=\frac{1}{2}ln|x+1|-\frac{1}{2}ln|x-1|-\frac{4}{x-1}+C`