Integral Parsial

Pada pembahasan kali ini, kita akan membahas konsep integral parsial. Teman-teman pasti bertanya-tanya dong bagaimana sih itu konsep integral parsial? Jadi teman-teman, integral parsial adalah salah satu teknik untuk menyelesaikan integral yang integrannya merupakan perkalian dua fungsi `uv`, dimana `u=f(x)` dan `v=g(x)`. Integral ini berguna ketika `f` dapat didiferensiasikan berkali-kali dan `g` dapat diintegrasikan berkali-kali tanpa kesulitan. Karena `y=uv`, maka menurut definisi diferensial dan turunan fungsi `y=uv` diperoleh

`dy=d(uv)`

`d(uv)=udv+vdu`

Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh

`\int d(uv)=\int udv+\int vdu`

`\leftrightarrow \int udv=\int d(uv)-\int vdu`

`\leftrightarrow \int udv=\int dy-\int vdu`

`\leftrightarrow \int udv=y-\int vdu`

`\leftrightarrow \int udv=uv-\int vdu`

Bentuk terakhir ini dinamakan rumus integral parsial.

Sekarang, perhatikan contoh-contoh berikut.

Tentukan integral parsial berikut ini.

1. `\int (x^{2}-1)cosxdx`

Solusi:

Misalkan `u=x^{2}-1` maka `du=2xdx`

`dv=cosxdx` maka `v=\int cosxdx=sinx`

Dengan menggunakan rumus integral parsial `\int udv=uv-\int vdu` diperoleh

`\int (x^{2}-1)cosxdx=(x^{2}-1)sinx-\int sinx.2xdx`

`=(x^{2}-1)sinx-2\int xsinxdx`

Untuk mengintegralkan bentuk `\int xsinxdx`, gunakan kembali rumus integral parsial untuk

`u=x` maka `du=dx`

`dv=sinxdx` maka `v=\int sinxdx=-cos x`

Sehingga kita akan peroleh

`\int (x^{2}-1)cosxdx=(x^{2}-1)sinx-2\int x sinxdx`

`=(x^{2}-1)sinx-2(-xcosx-\int (-cosxdx))`

`=(x^{2}-1)sinx+2xcosx-2sinx+C`

`=x^{2}sinx-sinx+2xcosx-2sinx+C`

`=x^{2}sinx-3sinx+2xcosx+C`

`=(x^{2}-3)sinx+2xcosx+C`

Jadi, `\int (x^{2}-1)cosxdx=(x^{2}-3)sinx+2xcosx+C`

2. `\int e^{x}cosxdx`

Solusi:

Misal `u=e^{x}` maka `du=e^{x}dx`

`dv=cosxdx` maka `v=\int cosxdx=sinx`

Dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh

`\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx`

Untuk mengintegralkan bentuk `\int e^{x}sinxdx`, gunakan kembali rumus integral parsial untuk

`u=e^{x}` maka `du=e^{x}dx`

`dv=sinxdx` maka `v=\int sinxdx=-cosx`

Sehingga kita akan peroleh

`\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx`

`\leftrightarrow \int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-[e^{x}(-cosx)-\int (-cosx)(e^{x}dx)]`

`\leftrightarrow \int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}cosx-\int e^{x}cosxdx`

`\leftrightarrow \int e^{x}cosxdx+\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}cosx`

`\leftrightarrow 2\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}cosx`

`\leftrightarrow \int e^{x}cosxdx=\frac{e^{x}sinx}{2}+\frac{e^{x}cosx}{2}+C`

3. `\int xsin3xdx`

Solusi:

Misal `u=x` maka `du=dx`

`dv=sin3xdx` maka `v=\int sin3xdx=-\frac{cos3x}{3}`

Dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh

`\int xsin3xdx=x(-\frac{cos3x}{3})-\int (-\frac{cos3x}{3})dx`

`=-\frac{xcos3x}{3}+\frac{1}{3}\int cos3xdx`

`=-\frac{xcos3x}{3}+\frac{1}{3}(\frac{1}{3}sin3x)+C`

`=-\frac{xcos3x}{3}+\frac{sin3x}{9}+C`

Jadi, `\int xsin3xdx=-\frac{xcos3x}{3}+\frac{sin3x}{9}+C`

4. `\int x^{3}lnxdx`

Solusi:

Misal `u=x^{3}` maka `du=3x^{2}dx`

`dv=lnxdx` maka `v=\int lnxdx`

Untuk mengintegralkan bentuk `\int lnxdx`, gunakan rumus integral parsial untuk

`u=lnx` maka `du=\frac{1}{x}dx`

`dv=dx` maka `v=x`

`\int lnxdx=xlnx-\int x(\frac{dx}{x})`

`=xlnx-\int dx`

`=xlnx-x`

Jadi, `v=\int lnxdx=xlnx-x`

Sehingga dengan menggunakan rumus integral parsial kita akan peroleh

`\int x^{3}lnxdx=x^{3}(xlnx-x)-\int (xlnx-x)(3x^{2}dx)`

`\leftrightarrow \int x^{3}lnxdx=x^{4}lnx-x^{4}-\int (xlnx-x)(3x^{2})dx`

`\leftrightarrow \int x^{3}lnxdx=x^{4}lnx-x^{4}-\int (3x^{3}lnx-3x^{3})dx`

`\leftrightarrow \int x^{3}lnxdx=x^{4}lnx-x^{4}-3\int x^{3}lnxdx+\int 3x^{3}dx`

`\leftrightarrow 4\int x^{3}lnxdx=x^{4}lnx-x^{4}+\frac{3x^{4}}{4}+C`

`\leftrightarrow \int x^{3}lnxdx=\frac{x^{4}lnx}{4}-\frac{x^{4}}{4}+\frac{3x^{4}}{16}+C`

`\leftrightarrow \int x^{3}lnxdx=\frac{x^{4}lnx}{4}-\frac{4x^{4}}{16}+\frac{3x^{4}}{16}+C`

`\leftrightarrow \int x^{3}lnxdx=\frac{x^{4}lnx}{4}-\frac{x^{4}}{16}+C`

5. `\int x^{2}e^{x}dx`

Solusi:

Misal `u=x^{2}` maka `du=2xdx`

`dv=e^{x}dx` maka `v=\int e^{x}dx=e^{x}`

Dengan menggunakan rumus integral parsial diperoleh

`\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-\int e^{x}2xdx`

`=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx`

Untuk mengintegralkan bentuk `\int xe^{x}dx`, gunakan kembali rumus integral parsial untuk

`u=x` maka `du=dx`

`dv=e^{x}dx` maka `v=\int e^{x}dx=e^{x}`

Sehingga kita akan peroleh

`\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2\int xe^{x}dx`

`=x^{2}e^{x}-2(xe^{x}-\int e^{x}dx)`

`=x^{2}e^{x}-2(xe^{x}-e^{x})+C`

`=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+C`

Jadi, `\int x^{2}e^{x}dx=x^{2}e^{x}-2xe^{x}+2e^{x}+C`