Integral Fungsi Trigonometri

Hai hai teman-teman semua, kali ini kita akan membahas bersama mengenai teknik atau metode lain untuk mencari integral tak tentu dari sebuah fungsi. Dalam menyelesaikan soal-soal, teman-teman terkadang menemukan soal yang melibatkan fungsi trigonometri. Nah, berikut ini adalah rumus integral fungsi trigonometri.

`\int sinkx=\frac{-1}{k}coskx+C`

`\int coskx=\frac{1}{k}sinkx+C`

`\int sec^{2}kx=\frac{1}{k}tankx+C`

`\int tanxdx=ln|secx|+C=-ln|cosx|+C`

`\int cotxdx=-ln|cscx|+C=ln|sinx|+C`

`\int secxdx=ln|secx+tanx|+C`

`\int cscxdx=-ln|cscx+cotx|+C`

Contoh soal:

1. Hitunglah `\int sin^{2}tdt`

Solusi:

`\int sin^{2}tdt`

`=\int \frac{1-cos2t}{2}dt`

`=\int \frac{1}{2}(1-cos2t)dt`

`=\frac{1}{2}\int (1-cos2t)dt`

`=\frac{1}{2}(t-\frac{1}{2}sin2t)+C`

`=\frac{t}{2}-\frac{sin2t}{4}+C`

2. Tentukan `\int cos^{3}xsinxdx`

Solusi:

`\int cos^{3}xsinxdx`

`=\int cos^{3}x(-d(cosx))`

`=-\int cos^{3}xd(cosx)`

Misalkan `u=cosx`

`=-\int u^{3}du`

`=-\frac{u^{4}}{4}+C`

`=-\frac{cos^{4}x}{4}+C`

3. Carilah `\int sin^{4}2xcos2xdx`

Solusi:

Misal `u=sin2x` maka `du=2cos2xdx \rightarrow cos2xdx=\frac{du}{2}`

`\int sin^{4}2xcos2xdx`

`=\int u^{4}\frac{du}{2}`

`=\frac{1}{2}\int u^{4}du`

`=\frac{1}{2}(\frac{u^{5}}{5})+C`

`=\frac{1}{2}(\frac{sin^{5}2x}{5})+C`

`=\frac{1}{10}sin^{5}2x+C`

Gagasan umum dari integral fungsi trigonometri adalah menggunakan identitas trigonometri untuk mengubah integral yang harus dicari menjadi integral yang lebih mudah dikerjakan. Ada beberapa kasus bentuk integral fungsi trigonometri yaitu sebagai berikut.

A. Integral dari Pemangkatan Sinus dan Kosinus

Bentuk: `\int sin^{m}xdx` dan `\int cos^{m}xdx` dengan m bilangan ganjil atau genap positif.

-) Jika m bulat positif dan ganjil, maka m diubah menjadi `(m-1)+1`, atau m digenapkan terdekat. Lalu, gunakan kesamaan identitas `sin^{2}x+cos^{2}x=1`

-) Jika m bilangan bulat positif genap, maka penyelesaiannya dapat dicari dengan menggunakan identitas: `sin^{2}x=\frac{1-cos2x}{2}` dan `cos^{2}x=\frac{1+cos2x}{2}`

Contoh soal:

1. Tentukan `\int sin^{5}xdx`

Solusi:

`\int sin^{5}xdx=\int sin^{4}xsinxdx`

`=\int (sin^{2}x)^{2}sinxdx`

`=\int (1-cos^{2}x)^{2}sinxdx`

`=\int (1-2cos^{2}x+cos^{4}x)sinxdx`

`=\int (1-2cos^{2}x+cos^{4}x)(-d(cosx))`

`=-\int (1-2cos^{2}x+cos^{4}x)d(cosx)`

Misal `u=cosx`

`=-\int (1-2u^{2}+u^{4})du`

`=-(u-\frac{2u^{3}}{3}+\frac{u^{5}}{5})+C`

`=-cosx+\frac{2cos^{3}x}{3}-\frac{cos^{5}x}{5}+C`

`=-cosx+\frac{2}{3}cos^{3}x-\frac{1}{5}cos^{5}x+C`

2. Hitunglah `\int cos^{4}xdx`

Solusi:

`\int cos^{4}xdx`

`=\int (cos^{2}x)^{2}dx`

`=\int (\frac{1+cos2x}{2})^{2}dx`

`=\frac{1}{4}\int (1+cos2x)^{2}dx`

`=\frac{1}{4}\int (1+2cos2x+cos^{2}2x)dx`

`=\frac{1}{4}(\int dx+2\int cos2xdx+\int cos^{2}2xdx)`

`\rightarrow \int cos^{2}2xdx=\int \frac{1+cos4x}{2}dx`

`=\frac{1}{2}\int (1+cos4x)dx`

`=\frac{1}{2}(x+\frac{sin4x}{4})+C_{1}`

`=\frac{1}{2}x+\frac{sin4x}{8}+C_{1}`

`=\frac{1}{4}(x+\frac{2sin2x}{2}+\frac{1}{2}x+\frac{sin4x}{8})+C`

`=\frac{1}{4}x+\frac{sin2x}{4}+\frac{1}{8}x+\frac{sin4x}{32}+C`

`=\frac{3}{8}x+\frac{sin2x}{4}+\frac{sin4x}{32}+C`

B. Hasil Kali dari Pemangkatan Sinus dan Kosinus

Bentuk: `\int sin^{m}xcos^{n}xdx` dengan m atau n adalah bilangan bulat positif ganjil atau genap.

-) Jika m ganjil, kita menuliskan m sebagai `2k+1` dan menggunakan identitas `sin^{2}x=1-cos^{2}x` untuk memperoleh

`sin^{m}x=sin^{2k+1}x=(sin^{2}x)^{k}sinx=(1-cos^{2}x)^{k}sinx`.

Lalu, kita gabungkan `sinx` yang tunggal dengan `dx` pada integral dan menetapkan `sinxdx` sama dengan `-d(cosx)`.

-) Jika n ganjil, kita menuliskan n sebagai `2k+1` dan menggunakan identitas `cos^{2}x=1-sin^{2}x` untuk memperoleh

`cos^{n}x=cos^{2k+1}x=(cos^{2}x)^{k}cosx=(1-sin^{2}x)^{k}cosx`.

Lalu, kita gabungkan `cosx` yang tunggal dengan `dx` pada integral dan menetapkan `cosxdx` sama dengan `d(sinx)`.

-) Jika m dan n keduanya genap, kita menggunakan identitas trigonometri, yaitu `sin^{2}x=\frac{1-cos2x}{2}` dan `cos^{2}x=\frac{1+cos2x}{2}` untuk mereduksi integran menjadi fungsi dalam `cos2x` yang pangkatnya lebih rendah dari pangkat semula.

Agar lebih memahaminya, yuk simak contoh berikut!

1. Hitunglah `\int sin^{3}xcos^{3}xdx`

Solusi:

`\int sin^{3}xcos^{3}xdx`

`=\int sin^{3}xcos^{2}xcosxdx`

`=\int sin^{3}x(1-sin^{2}x)cosxdx`

`=\int (sin^{3}x-sin^{5}x)d(sinx)`

Misal `u=sinx`

`=\int (u^{3}-u^{5})du`

`=\frac{u^{4}}{4}-\frac{u^{6}}{6}+C`

`=\frac{sin^{4}x}{4}-\frac{sin^{6}x}{6}+C`

2. Tentukan `\int 16sin^{2}xcos^{2}xdx`

Solusi:

`\int 16sin^{2}xcos^{2}xdx`

`=16\int sin^{2}xcos^{2}xdx`

`=16\int (\frac{1-cos2x}{2})(\frac{1+cos2x}{2})dx`

`=16\int \frac{1}{4}(1-cos2x)(1+cos2x)dx`

`=4\int (1-cos2x)(1+cos2x)dx`

`=4\int (1-cos^{2}2x)dx`

`=4(\int dx-\int cos^{2}2xdx)`

`=4(x-\frac{1}{2}x-\frac{sin4x}{8})+C`

`=4(\frac{1}{2}x-\frac{sin4x}{8})+C`

`=2x-\frac{1}{2}sin4x+C`

C. Integral dari Pemangkatan Tangen dan Cotangen

Bentuk: `\int tan^{n}xdx` dan   `\int cot^{n}xdx`

-) Untuk kasus `\int tan^{n}xdx`, faktorkan `tanx` kemudian gunakan identitas `tan^{2}x=sec^{2}x-1`

-) Untuk kasus `\int cot^{n}xdx`, faktorkan `cotx` kemudian gunakan identitas `cot^{2}x=csc^{2}x-1`

Perhatikan contoh berikut yang melibatkan kasus-kasus di atas.

1. Hitunglah `\int cot^{6}2xdx`

Solusi:

`\int cot^{6}2xdx`

`=\int cot^{4}2x (cot^{2}2x)dx`

`=\int cot^{4}2x (csc^{2}2x-1)dx`

`=\int cot^{4}2x csc^{2}2xdx-\int cot^{4}2xdx`

`=\int cot^{4}2x csc^{2}2xdx-\int cot^{2}2x(cot^{2}2x)dx`

`=\int cot^{4}2x csc^{2}2xdx-\int cot^{2}2x(csc^{2}2x-1)dx`

`=\int cot^{4}2x (csc^{2}2x)dx-\int cot^{2}2x(csc^{2}2x)dx+\int cot^{2}2xdx`

`=\int cot^{4}2x csc^{2}2xdx-\int cot^{2}2xcsc^{2}2xdx+\int (csc^{2}2x-1)dx`

`=\int cot^{4}2x csc^{2}2xdx-\int cot^{2}2xcsc^{2}2xdx+\int csc^{2}2xdx-\int dx`

`=\int cot^{4}2x csc^{2}2xdx-\int cot^{2}2xcsc^{2}2xdx+\int csc^{2}2xdx-x+C`

Misalkan `u=cot2x` maka `du=-2csc^{2}2xdx\rightarrow csc^{2}2xdx=\frac{-du}{2}`

`= \int u^{4}(\frac{-du}{2})-\int u^{2}(\frac{-du}{2})+\int \frac{-du}{2}-x+C`

`=-\frac{1}{2}\int u^{4}du+\frac{1}{2}\int u^{2}du-\frac{1}{2}\int du-x+C`

`=\frac{1}{2}(-\int u^{4}du+\int u^{2}du-\int du)-x+C`

`=\frac{1}{2}(-\frac{u^{5}}{5}+\frac{u^{3}}{3}-u)-x+C`

`=\frac{1}{2}(-\frac{cot^{5}2x}{5}+\frac{cot^{3}2x}{3}-cot2x)-x+C`

`=-\frac{1}{10}cot^{5}2x+\frac{1}{6}cot^{3}2x-\frac{1}{2}cot2x-x+C`

2. Tentukan `\int tan^{3}xdx`

Solusi:

`\int tan^{3}xdx`

`=\int tan^{2}xtanxdx`

`=\int (sec^{2}x-1)tanxdx`

`=\int sec^{2}xtanxdx-\int tanxdx`

`=\int tanxsec^{2}xdx-ln|secx|+C`

`=\int tanxd(tanx)-ln|secx|+C`

`=\frac{tan^{2}x}{2}-ln|secx|+C`

D. Hasil Kali dari Pemangkatan Tangen dan Secan

Bentuk: `\int tan^{m}xsec^{n}xdx`

Dalam menyelesaikan bentuk seperti di atas kita menggunakan identitas trigonometri, yaitu `1+tan^{2}x=sec^{2}x` dan `1+cot^{2}x=cosec^{2}x`.

Contoh soal:

1. Carilah `\int sec^{3}xtan^{3}xdx`

Solusi:

`\int sec^{3}xtan^{3}xdx`

`=\int sec^{2}xtan^{2}xsecxtanxdx`

`=\int sec^{2}x(sec^{2}x-1)secxtanxdx`

`=\int (sec^{4}x-sec^{2}x)secxtanxdx`

Misal `u=secx` maka `du=secx tanxdx`

`=\int (u^{4}-u^{2})du`

`=\frac{u^{5}}{5}-\frac{u^{3}}{3}+C`

`=\frac{sec^{5}x}{5}-\frac{sec^{3}x}{3}+C`

E. Hasil Kali Sinus dan Cosinus

Bentuk: `\int sinax(sinbx)dx, \int sinax(cosbx)dx, \int cosax(cosbx)dx`

Integral dari bentuk di atas dapat dihitung dengan menggunakan identitas yaitu sebagai berikut.

-) `sinax(sinbx)=\frac{1}{2}[cos(a-b)x-cos(a+b)x]`

-) `sinax(cosbx)=\frac{1}{2}[sin(a-b)x+sin(a+b)x]`

-) `cosax(cosbx)=\frac{1}{2}[cos(a-b)x+cos(a+b)x]`

Berikut contoh soal yang menggunakan identitas tersebut.

1. Tentukan `\int cos3xcos4xdx`

Solusi:

`\int cos3xcos4xdx`

`=\int \frac{1}{2}[cos(3-4)x+cos(3+4)x]dx`

`=\int \frac{1}{2}[cos(-x)+cos7x]dx`

`=\int \frac{1}{2}[cosx+cos7x]dx`

`=\frac{1}{2}\int [cosx+cos7x]dx`

`=\frac{1}{2}(sinx+\frac{sin7x}{7})+C`

`=\frac{1}{2}sinx+\frac{1}{14}sin7x+C`