Volume Benda Putar-1

Hai hai teman-teman semua...

Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas bersama mengenai volume benda putar. Seperti bagaimana sih itu konsep benda putar? Bagaimana metode-metode yang digunakan dalam mencari volume dari benda putar tersebut? Yuk simak penjelasan berikut.

Benda-pejal sederhana yang disebut silinder tegak, empat diantaranya diperlihatkan pada gambar di bawah. Dalam tiap kasus, benda itu dibentuk dengan cara menggerakkan suatu daerah rata (alas) sejauh `h` dengan arah tegak lurus pada daerah tersebut. Dalam tiap kasus, volume benda-pejal didefinisikan sebagai luas alas `A` dikalikan tinggi `h`, yakni

`V=A.h`

Berikut perhatikan sebuah benda-pejal yang penampang-penampangnya tegak lurus dengan suatu garis memiliki luas yang diketahui. Khususnya, misalkan garis tersebut adalah sumbu-x dan misalkan bahwa luas penampang pada `x` adalah `A(x)` dengan `a\leq x\leq b` (lihat gambar di bawah sebelah kiri). Kita partisikan interval `[a,b]` dengan menyisipkan titik-titik `a=x_{0}< x_{1}< x_{2}<...<  x_{i}=b`. Kemudian kita lewatkan bidang-bidang melalui titik-titik ini tegak lurus pada sumbu-x, sehingga mengiris benda menjadi lempengan-lempengan tipis (lihat gambar di bawah sebelah kanan). Volume `\Delta V` suatu lempengan kira-kira sama dengan volume suatu silinder, yakni

`\Delta V_{i}=A(\bar{x_{i}})\Delta x_{i}`

(Ingat bahwa `\bar{x_{i}}` disebut titik sampel, adalah sebarang bilangan dalam interval `[x_{i-1},x_{i}]`)

Volume `V` dari benda-pejal dapat diaproksimasikan dengan jumlah Riemann

`V\approx \sum_{i=1}^{n}A(\bar{x_{i}})\Delta x_{i}`

Ketika norma partisi mendekati nol, diperoleh integral tertentu yang didefinisikan sebagai volume benda-pejal,

`V=\int_{a}^{b}A(x)dx`

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin, dan metode kulit silinder.

A. Metode Cakram

Benda pejal yang terbentuk karena rotasi (atau revolusi) sebuah daerah bidang mengelilingi sebuah sumbu pada bidangnya disebut benda-putar. Untuk mencari volume sebuah benda pejal dengan metode cakram, kita hanya perlu mengamati bahwa luas penampang `A(x)` adalah luas dari sebuah cakram dengan radius R(x), yaitu jarak batas daerah pada bidang dari sumbu putar. Luasnya dituliskan sebagai berikut:

`A(x)=\pi [R(x)]^{2}`, dengan `R(x)` adalah radius.

Dengan demikian, volume benda-putar mengelilingi sumbu-x berdasarkan metode cakram adalah

`V=\int_{a}^{b}A(x)dx=\int_{a}^{b}\pi [R(x)]^{2} dx`

Untuk mencari volume benda pejal yang dibentuk oleh perputaran suatu daerah di antara sumbu-y dan sebuah kurva `x=R(y), c\leq y\leq d`, mengelilingi sumbu-y, kita gunakan metode yang sama di mana `x` diganti dengan `y`. Pada kasus ini, luas penampang lingkaran adalah

`A(y)=\pi [R(y)]^{2}`, dengan `R(y)` adalah radius.

Sehingga, volume benda-putar mengelilingi sumbu-y berdasarkan metode cakram adalah

`V=\int_{c}^{d}A(y)dy=\int_{c}^{d}\pi [R(y)]^{2} dy`

Agar lebih memahaminya, yuks simak contoh-contoh berikut.

1. Daerah di antara kurva `y=\sqrt{x},0\leq x\leq 4,` dan sumbu-x diputar mengelilingi sumbu-x sehingga membentuk sebuah benda pejal. Tentukan volumenya.

Jawab:

Kita membuat gambar yang menunjukkan daerah yang dimaksud, sebuah radius, dan benda pejal yang terbentuk (lihat gambar).

Berdasarkan gambar, volumenya adalah

`V=\int_{a}^{b}\pi [R(x)]^{2} dx`

`=\int_{0}^{4}\pi [\sqrt{x}]^{2} dx`

`=\pi \int_{0}^{4}x dx`

`=\pi [\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4}`

`=\pi (\frac{4^{2}}{2}-0)`

`=8\pi`

2. Carilah volume benda pejal yang dibentuk oleh perputaran daerah yang dibatasi oleh `y=\sqrt{x}` dan garis-garis `y= 1, x=4` mengelilingi garis `y=1`.

Jawab:

Kita buat gambar yang menunjukkan daerah yang dimaksud, sebuah radius, dan benda pejal yang terbentuk (lihat gambar).

Volume benda pejal adalah

`V=\int_{a}^{b}\pi [R(x)]^{2}dx`

`=\int_{1}^{4}\pi [\sqrt{x}-1]^{2}dx`

`=\pi \int_{1}^{4}[x-2\sqrt{x}+1]dx`

`=\pi [\frac{x^{2}}{2}-2.\frac{2x^{\frac{3}{2}}}{3}+x]_{1}^{4}dx`

`=\pi [(\frac{4^{2}}{2}-2.\frac{2(4^{\frac{3}{2}})}{3}+4)-(\frac{1^{2}}{2}-2.\frac{2(1^{\frac{3}{2}})}{3}+1)]`

`=\pi [\frac{4}{3}-\frac{1}{6}]`

`=\frac{7\pi }{6}`

3. Carilah volume benda pejal yang dibentuk oleh perputaran daerah di antara sumbu-y dan kurva `x=\frac{2}{y},1\leq y\leq 4`, mengelilingi sumbu-y.

Jawab:

Kita buat gambar yang menunjukkan daerah yang dimaksud, sebuah radius, dan benda pejal yang terbentuk (lihat gambar).

Sehingga, volume benda pejal dapat dihitung dengan menggunakan rumus

`V=\int_{c}^{d}\pi [R(y)]^{2}dy`

`=\int_{1}^{4}\pi [\frac{2}{y}]^{2}dy`

`=\pi \int_{1}^{4}\frac{4}{y^{2}}dy`

`=4\pi \int_{1}^{4}\frac{1}{y^{2}}dy`

`=4\pi[-\frac{1}{y}]_{1}^{4}`

`=4\pi (-\frac{1}{4}-(-1))`

`=3\pi`

4. Carilah volume benda pejal yang dihasilkan oleh perputaran daerah di antara parabola `x=y^{2}+1` dan garis `x=3` mengelilingi garis `x=3`.

Jawab:

Kita buat gambar yang menunjukkan daerah yang dimaksud, sebuah radius, dan benda pejal yang terbentuk (lihat gambar). Perhatikan bahwa penampang-penampangnya tegak lurus terhadap garis `x=3` memiliki koordinat `y` dari `y=-\sqrt{2}` sampai `y=\sqrt{2}`.

Dengan demikian, volumenya adalah

`V=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \pi [R(y)]^{2}dy`

`=\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}} \pi [2-y^{2}]^{2}dy`

`=\pi \int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}[4-4y^{2}+y^{4}]dy`

`=\pi [4y-\frac{4y^{3}}{3}+\frac{y^{5}}{5}]_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}`

`=\pi[(4(\sqrt{2})-\frac{4(\sqrt{2})^{3}}{3}+\frac{(\sqrt{2})^{5}}{5})-(4(-\sqrt{2})-\frac{4(-\sqrt{2})^{3}}{3}+\frac{(-\sqrt{2})^{5}}{5})]`

`=\pi [\frac{32\sqrt{2}}{15}-(-\frac{32\sqrt{2}}{15})]`

`=\pi [\frac{64\sqrt{2}}{15}]`

`=\frac{64\pi \sqrt{2}}{15}`

B. Metode Cincin

Jika daerah yang kita putar untuk membentuk benda pejal tidak berpotongan dengan sumbu putar, maka benda itu akan memiliki lubang di dalamnya. Jadi, penampang-penampang yang tegak lurus pada sumbu putar merupakan cincin. Luas cincin adalah

`A(x)=\pi [R(x)]^{2}-\pi [r(x)]^{2}=\pi ([R(x)]^{2}-[r(x)]^{2})`

Oleh karena itu, volume benda putar mengelilingi sumbu-x berdasarkan metode cincin adalah

`V=\int_{a}^{b}A(x)dx=\int_{a}^{b}\pi ([R(x)]^{2}-[r(x)]^{2})dx`

Untuk mencari volume benda pejal yang dihasilkan oleh perputaran daerah mengelilingi sumbu-y, kita menggunkan metode yang sama seperti rumus di atas, tetapi melakukan integrasi terhadap `y`. Pada kasus ini ruas garis yang membentuk cincin tegak lurus terhadap sumbu-y (sumbu putar), serta radius luar dan radius dalam merupakan fungsi dari `y`.

`V=\int_{c}^{d}A(y)dy=\int_{c}^{d}\pi ([R(y)]^{2}-[r(y)]^{2})dy`

Contoh Soal:

1. Daerah yang dibatasi oleh kurva `y=x^{2}+1` dan garis `y=-x+3` diputar mengelilingi sumbu-x untuk membentuk benda pejal. Carilah volume benda pejal tersebut.

Jawab:

Pertama, kita menggambar daerah dan membuat sketsa ruas garis yang memotong daerah itu tegak lurus terhadap sumbu putar (ruas garis merah pada gambar).

Kedua, kita mencari radius luar dan radius dalam dari cincin yang terbentuk oleh perputaran ruas garis bersama dengan daerah itu mengelilingi sumbu-x. Kedua radius tersebut adalah jarak antara ujung ruas garis dari sumbu putar (lihat gambar).

Radius luar: `R(x)=-x+3`

Radius dalam: `r(x)=x^{2}+1`

Ketiga, kita mencari batas-batas integrasi dengan mencari koordinat `x` dari titik perpotongan antara kurva dan garis pada gambar di atas.

`x^{2}+1=-x+3`

`\Leftrightarrow x^{2}+x+1-3=0`

`\Leftrightarrow x^{2}+x-2=0`

`\Leftrightarrow (x+2)(x-1)=0`

`\Leftrightarrow x=-2,x=1`

Keempat, kita menghitung volume benda pejal:

`V=\int_{a}^{b}\pi ([R(x)]^{2}-[r(x)]^{2})dx`

`=\int_{-2}^{1}\pi ((-x+3)^{2}-(x^{2}+1)^{2})`

`=\pi \int_{-2}^{1}(8-6x-x^{2}-x^{4})`

`=\pi [8x-3x^{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{5}}{5}]_{-2}^{1}`

`=\frac{117\pi}{5}`

2. Daerah yang dibatasi oleh parabola `y=x^{2}`  dan garis `y=2x` pada kuadran pertama diputar mengelilingi sumbu-y untuk membentuk benda pejal. Carilah volume benda pejal tersebut.

Jawab:

Pertama, kita sketsakan daerah yang dimaksud dan kita gambar ruas garis yang memotong daerah itu secara tegak lurus terhadap sumbu putar (sumbu-y). Lihat gambar di bawah ini.

Radius cincin yang dibentuk oleh ruas garis adalah:

Radius luar: `R(y)=\sqrt{y}`

Radius dalam: `r(y)=\frac{y}{2}`

Selanjutnya, kita mencari batas-batas integrasi dengan mencari koordinat `y` dari titik perpotongan antara parabola dan garis pada gambar di atas.

`x^{2}=2x`

`\Leftrightarrow x^{2}-2x=0`

`\Leftrightarrow x(x-2)=0`

`\Leftrightarrow x=0,x=2`

Substitusikan nilai `x=0` dan `x=2` ke persamaan parabola `y=x^{2}`, sehingga didapatkan `y=0` dan `y=4`. Garis dan parabola berpotongan pada `y=0` dan `y=4` sehingga batas-batas integrasi adalah `c=0` dan `d=4`. Kita integrasikan untuk mencari volume:

`V=\int_{c}^{d}\pi ([R(y)]^{2}-[r(y)]^{2})dy`

`=\int_{0}^{4}\pi ([\sqrt{y}]^{2}-[\frac{y}{2}]^{2})dy`

`=\pi \int_{0}^{4} (y-\frac{y^{2}}{4})dy`

`=\pi [\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{3}}{12}]_{0}^{4}`

`=\frac{8\pi}{3}`