Volume Benda Putar-2

 

Pada kesempatan kali ini, kita akan melanjutkan pembahasan kita mengenai volume benda putar. Sebelumnya, kita telah memahami cara menghitung volume benda putar menggunakan metode cakram dan cincin. Selain kedua metode tersebut, teman-teman juga bisa menggunakan metode kulit silinder. Metode kulit silinder sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang mungkin lebih mudah diterapkan bila kita bandingkan dengan metode cakram atau metode cincin. Volume benda pejal yang terbentuk oleh perputaran daerah di antara sumbu-x dan grafik fungsi kontinu `y=f(x)\geq 0,L\leq a\leq x\leq b`, mengelilingi sebuah garis vertikal `x=L` adalah

`V=\int_{a}^{b}2\pi` (radius kulit silinder)(tinggi kulit silinder) dx

Andaikan radius kulit silinder = x dan tinggi kulit silinder = f(x) maka:

`V=\int_{a}^{b}2\pi xf(x)dx`

Untuk sumbu putar horizontal (sumbu-y), maka `x` diganti dengan `y` sehingga didapatkan

`V=\int_{a}^{b}2\pi yf(y)dy`

Contoh Soal:

1. Daerah yang dibatasi oleh kurva `y=\sqrt{x}`, sumbu-x, dan garis `x=4` diputar mengelilingi sumbu-y untuk membentuk sebuah benda pejal. Carilah volume benda pejal tersebut. 

Jawab: 

Buatlah sketsa daerah yang dimaksud dan gambarkan sebuah segmen garis yang memotong daerah tersebut yang sejajar dengan sumbu putar (lihat gambar). Berikan label pada tinggi segmen garis (tinggi kulit silinder) dan jarak dari sumbu putar (radius kulit silinder).

Variabel ketebalan kulit silinder adalah `x`, sehingga batas integrasi untuk rumus kulit silinder adalah `a=0` dan `b=4` (lihat gambar). Oleh karena itu, volume benda pejal adalah

`V=\int_{a}^{b}2\pi` (radius kulit silinder)(tinggi kulit silinder) dx

`=\int_{0}^{4}2\pi (x)(\sqrt{x})dx`

`=2\pi\int_{0}^{4}x^{\frac{3}{2}}dx`

`=2\pi[\frac{2x^\frac{5}{2}}{5}]_{0}^{4}`

`=2\pi[\frac{2(4)^\frac{5}{2}}{5}-0]`

`=2\pi[\frac{2(32)}{5}]`

`=\frac{128\pi}{5}`

2. Daerah yang dibatasi oleh kurva `y=\sqrt{x}`, sumbu-x, dan garis `x=4` diputar mengelilingi sumbu-x untuk membentuk sebuah benda pejal. Carilah volume benda pejal dengan metode cangkang silindris.

Jawab:

Pertama, buatlah sketsa daerah dan gambar segmen garis yang memotong daerah yang dimaksud sejajar dengan sumbu putar (lihat gambar). Berikan label pada panjang segmen (tinggi kulit silinder) dan jarak dari sumbu putar (radius kulit silinder).

Pada kasus ini, variabel ketebalan kulit silinder adalah `y`, sehingga batas integrasi untuk rumus metode kulit silinder adalah `a=0` dan `b=2` (sepanjang sumbu-y  pada gambar di atas). Volume benda pejal adalah

`V=\int_{a}^{b}2\pi` (radius kulit silinder)(tinggi kulit silinder) dx

`=\int_{0}^{2}2\pi (y)(4-y^{2})dy`

`=2\pi\int_{0}^{2}(4y-y^{3})dy`

`=2\pi [2y^{2}-\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{2}`

`=8\pi`

3. Tentukan volume benda-pejal putar yang terjadi jika daerah `R` dibatasi oleh `x=y^{2}`, `y=2`, `x=0` diputar terhadap garis `y=2`.

Jawab: 

Pertama, kita membuat sketsa daerah dan menggambar segmen garis yang memotong daerah yang dimaksud sejajar dengan sumbu putar (lihat gambar). Berikan label pada panjang segmen (tinggi kulit silinder) dan jarak dari sumbu putar (radius kulit silinder).

 

Pada kasus ini, ketebalan kulit silinder adalah `\Delta y` , sehingga batas integrasi untuk rumus metode kulit silinder adalah `a=0` dan `b=2` (sepanjang sumbu-y  pada gambar di atas). Volume benda pejal adalah

`V=\int_{a}^{b}2\pi` (radius kulit silinder)(tinggi kulit silinder) dx

`V=\int_{0}^{2}2\pi (2-y)(y^{2})dy`

`=2\pi \int_{0}^{2}(2y^{2}-y^{3})dy`

`=2\pi[\frac{2y^{3}}{3}-\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{2}`

`=2\pi[\frac{16}{3}-4-0]`

`=2\pi[\frac{4}{3}]`

`=\frac{8\pi }{3}`