Integral Tak Wajar

Sebelumnya, kita telah membahas mengenai teorema dasar kalkulus. Coba kita kembali memperhatikan teorema tersebut.

Teorema:

Misal `f(x)` adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada `I = [a,b]`, dan `F(x)` sebarang antiturunan pada I, maka

`\int_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)`

Nah, sekarang coba teman-teman perhatikan contoh-contoh berikut.

1) `\int_2^4(1-x) dx=[x-\frac{1}{2} x^2]_2^4`

`=(4-\frac{1}{2}.16)-(2-\frac{1}{2}.4)`

`=-4-0`

`=-4`

2) `\int_1^2 \frac{dx}{1+x}=[\ln |1+x|]_1^2`

`=\ln (1+2)-\ln (1+1)`

`=\ln 3-\ln 2`

3) `\int_1^2 \frac{d x}{\sqrt{1-x}}` tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas karena integran `f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}` tidak terdefinisi pada `x=1`.

4) `\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}` juga tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas karena integran `f(x)=\frac{1}{x}` tidak terdefinisi di `x=0`

Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.

Bentuk `\int_{a}^{b}f(x)dx` disebut Integral Tidak Wajar jika:

a. Integran `f(x)` mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di `[a,b]`, sehingga `f(x)` tidak terdefinisi di titik tersebut. Pada kasus ini teorema dasar kalkulus yaitu `\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)` tidak berlaku lagi.

Contoh: 

1. `\int_{0}^{4}\frac{dx}{4-x}`, `f(x)` tidak kontinu di batas atas `x = 4` atau `f(x)` kontinu di `[0,4)`

2. `\int_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{x-1}}`, `f(x)` tidak kontinu di batas bawah `x = 1` atau `f(x)` kontinu di `(1,2]`

3. `\int_{0}^{4}\frac{dx}{(2-x)^{\frac{2}{3}}}`, `f(x)` tidak kontinu di `x=2\in [0,4]` atau `f(x)` kontinu di `[0,2)\cup (2,4]`

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga.

Contoh:

1. `\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}`, integran `f(x)` memuat batas atas di `x=\infty`

2. `\int_{-\infty }^{0}e^{2x}dx`, integran `f(x)` memuat batas bawah di `x=-\infty`

3. `\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+4x^{2}}`, integran `f(x)` memuat batas atas di `x=\infty` dan batas bawah di `x=-\infty`

Pada contoh a (1, 2, 3) adalah integral tak wajar dengan integran `f(x)` tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar karena integran `f(x)` mempunyai batas di tak hingga (`\infty`). Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi integral tak wajar dengan integran tidak kontinu dan integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

Integral tak wajar dengan integran diskontinu

A. `f(x)` kontinu di `[a,b)` dan tidak kontinu di `x = b`

Karena `f(x)` tidak kontinu di `x = b`, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x=b-\varepsilon` `(\varepsilon \rightarrow 0^{+})`,sehingga

`\int_a^b f(x) dx=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) dx`

Atau kita juga dapat mencari nilai suatu integral tak wajar dengan cara berikut.

Karena batas atas `x=b-\varepsilon` `(x \rightarrow b^{-})` maka

`\int_a^b f(x) d x=\lim _{t \rightarrow b^{-}} \int_a^t f(x) d x`

Perhatikan contoh berikut agar teman-teman dapat memahami rumus di atas dengan baik.

1. `\int_0^4 \frac{d x}{\sqrt{4-x}}`, `f(x)` tidak kontinu di batas atas `x=4` sehingga 

`\int_0^4 \frac{d x}{\sqrt{4-x}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_0^{4-\varepsilon} \frac{d x}{\sqrt{4-x}}`

`=[\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}-2 \sqrt{4-x}\right]_0^{4-\varepsilon}`

`=-2 \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[\sqrt{4-(4-\varepsilon)}-\sqrt{4-0}]`

`=-2(\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \sqrt{\varepsilon}-\sqrt{4})`

`=-2 (0-2)`

`=4`

Cara lain:

`\int_0^4 \frac{d x}{\sqrt{4-x}}=\lim _{t \rightarrow 4^{-}} \int_0^t \frac{d x}{\sqrt{4-x}}`

`=\lim _{t \rightarrow 4^{-}}[-2 \sqrt{4-x}]_{0}^{t}`

`=\lim _{t \rightarrow 4^{-}} [-2 \sqrt{4-t}+2 \sqrt{4-0}]`

`=-2(0)+2(2)`

`=4`

2. `\int_{-2}^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}},f(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}`

Fungsi di atas tidak kontinu di `x=2` dan `x=-2`, sehingga:

`\int_{-2}^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}}=2 \int_0^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}}`

`=2[\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \arcsin \frac{x}{2}]_0^{2-\varepsilon}`

`=2\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} [\arcsin \frac{2-\varepsilon }{2}-\arcsin 0]`

`=2(\arcsin 1-\arcsin 0)`

`=2(\frac{\pi}{2}-0)`

`=\pi`

3. `\int_0^4 \frac{d x}{(4-x)^{\frac{3}{2}}}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} [\frac{2}{\sqrt{4-x}}]_0^{4-\varepsilon}`, `f(x)` tidak kontinu di batas atas `x=4` sehingga diperoleh

`\int_{0}^{4} \frac{d x}{(4-x)^{\frac{3}{2}}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{2}{\sqrt{4-(4-\varepsilon)}}-\frac{2}{\sqrt{4-0}}\right]`

= tidak berarti, karena mempunyai bentuk `\frac{2}{0}`

B. `f(x)` kontinu di `(a,b]` dan tidak kontinu di `x = a`

Karena `f(x)` tidak kontinu di `x = a`, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x=a+\varepsilon` `(\varepsilon \rightarrow 0^{+})`, sehingga

`\int_a^b f(x) d x=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) d x`

Atau dengan cara lain, karena batas bawah `x=a+\varepsilon` `(x\rightarrow a^{+})` maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:

`\int_a^b f(x) d x=\lim _{t \rightarrow a^{+}} \int_t^b f(x) d x`

Perhatikan contoh-contoh berikut untuk lebih memahaminya.

1. `\int_3^4 \frac{3 d x}{\sqrt{x-3}}=\lim _{t \rightarrow 3^{+}} \int_t^4 \frac{3 d x}{\sqrt{x-3}}`

`=\lim _{t \rightarrow 3^{+}}[6 \sqrt{x-3}]_t^4`

`=\lim _{t \rightarrow 3^{+}}[6 \sqrt{4-3}-6 \sqrt{t-3}] `

`=6(1)-6(0)`

`=6`

2. `\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{x}}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{0+\varepsilon}^1 \frac{d x}{\sqrt{x}}`, `f(x)` tidak kontinu di batas bawah `x = 0` sehingga diperoleh:

`\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{x}}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[2 \sqrt{x}]_{0+\varepsilon}^1`

`=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[2 \sqrt{1}-2 \sqrt{0+\varepsilon}]`

`=2-0`

`=2`

3. `\int_0^1 \ln x d x=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[x \ln x-x]_{0+\varepsilon}^1`, `f(x)` tidak kontinu di batas bawah `x=0`

`=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[(1 \ln 1-1)-((0+\varepsilon) \ln (0+\varepsilon)-(0+\varepsilon))]`

`=(1.0-1)-(0-0)`

`=-1`

C. `f(x)` kontinu di `[a,c) \cup (c,b]` dan tidak kontinu di `x = c`

Karena `f(x)` tidak terdefinisi di `x = c`, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x=c+\varepsilon` dan `x=c-\varepsilon` `(\varepsilon \rightarrow 0^{+})`, sehingga

`\int_a^b f(x) d x=\int_a^c f(x) d x+\int_c^b f(x) d x`

`=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_a^{c-\varepsilon} f(x) dx+\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{c+\varepsilon}^b f(x) dx`

Dapat juga dinyatakan dengan

`\int_a^b f(x) d x=\lim _{t \rightarrow b^{-}} \int_a^t f(x) d x+\lim _{t \rightarrow a^{+}} \int_t^b f(x) dx`

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

1. `\int_{-1}^8 x^{-\frac{1}{3}} dx`, `f(x)` tidak kontinu `x=0` sehingga diperoleh

`\int_{-1}^0 x^{-\frac{1}{3}} dx+\int_0^8 x^{-\frac{1}{3}} d x =\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{0-\varepsilon} x^{-\frac{1}{3}} d x+\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{0+\varepsilon}^8 x^{-\frac{1}{3}} dx`

`=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}]_{-1}^{0-\varepsilon}+\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}]_{0+\varepsilon}^8`

`=-\frac{3}{2}+6`

`=\frac{9}{2}`

2. `\int_{-1}^1 \frac{d x}{x^4}`, `f(x)` diskontinu di `x=0`, sehingga diperoleh:

`\int_{-1}^1 \frac{d x}{x^4} =\int_{-1}^0 \frac{d x}{x^4}+\int_0^1 \frac{d x}{x^4}`

`=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{0-\varepsilon} \frac{d x}{x^4}+\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{0+\varepsilon}^1 \frac{d x}{x^4}`

`=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[\frac{-1}{3 x^3}]_{-1}^{0-\varepsilon}+\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[\frac{-1}{3 x^3}]_{0+\varepsilon}^1`

`=` tidak berarti, karena memuat bentuk `\frac{1}{0}`

Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga

Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas integrasinya.

A. Intergral tak wajar dengan batas atas `x=\infty`.

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variabel dimana variabel tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk

`\int_{a}^{\infty } f(x)dx=\lim_{t\rightarrow \infty }\int_{a}^{t}f(x)dx`

Perhatikan contoh berikut ini.

1. `\int_0^{\infty} \frac{d x}{x^2+4}=\lim _{t \rightarrow \infty} \int_0^t \frac{d x}{x^2+4}`

`=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}\right]_0^t`

`=\lim _{t \rightarrow \infty}[\frac{1}{2} \arctan \frac{t}{2}-\frac{1}{2} \arctan 0]`

`=\frac{1}{2}\arctan(\infty )-\frac{1}{2} \arctan 0`

`=\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}.0`

`=\frac{\pi}{4}`

2. `\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^2}=\lim _{t \rightarrow \infty} \int_1^t \frac{d x}{x^2}`

`=\lim _{t \rightarrow \infty}[-\frac{1}{x}]_1^t`

`=\lim _{t \rightarrow \infty}[-\frac{1}{t}+1]`

`=-\frac{1}{\infty }+1`

`=0+1`

`=1`

B. Integral tak wajar dengan batas bawah di `x=-\infty`

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variabel dimana variabel tersebut mendekati (negatif) tak hingga. Dengan demikian, integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:

`\int_{-\infty}^a f(x) d x=\lim _{t \rightarrow-\infty} \int_t^a f(x) d x`

Agar lebih memahaminya perhatikan contoh-contoh berikut.

1. `\int_{-\infty}^0 e^{2 x} dx=\lim _{t \rightarrow-\infty}[\frac{1}{2} e^{2 x}]_t^0`

`=\lim _{t \rightarrow-\infty}[\frac{1}{2} .1-\frac{1}{2} e^{2 t}]`

`=\frac{1}{2}-0`

`=\frac{1}{2}`

2. `\int_{-\infty}^0 \frac{d x}{(4-x)^2}=\lim _{t \rightarrow-\infty}[\frac{1}{4-x}]_t^0`

`=\lim _{t \rightarrow-\infty}[\frac{1}{4-0}-\frac{1}{4-t}]`

`=\frac{1}{4}-0`

`=\frac{1}{4}`

C. Integral tak wajar batas atas `x=\infty` dan batas bawah di `x=-\infty` 

Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral tak wajar dengan `\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx=\int_{-\infty}^a f(x) d x+\int_a^{\infty} f(x) d x`, sehingga bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara A dan B seperti di atas, atau diperoleh bentuk:

`\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx =\int_{-\infty}^a f(x) d x+\int_a^{\infty} f(x) d x`

`=\lim _{t \rightarrow-\infty} \int_t^a f(x) d x+\lim _{t \rightarrow \infty} \int_a^t f(x) d x`

Perhatikan contoh di bawah ini:

1. `\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{1+4 x^2}=\int_{-\infty}^0 \frac{d x}{1+4 x^2}+\int_0^{\infty} \frac{d x}{1+4 x^2}`

`=\lim _{t \rightarrow-\infty}[\frac{arctan (2x)}{2}]_t^0+\lim _{t \rightarrow \infty}[\frac{arctan (2x)}{2}]_0^t`

`=\lim _{t \rightarrow-\infty}[0-\frac{arctan (2t)}{2}]+\lim _{t \rightarrow \infty}[\frac{arctan (2t)}{2}-0]`

`=[0-(-\frac{\pi }{4})]+[\frac{\pi }{4}-0]`

`=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}`

`=\frac{\pi }{2}`