Integral Tak Wajar ~ Belajar Tentang Dunia dan Isinya

Sebelumnya, kita telah membahas mengenai teorema dasar kalkulus. Coba kita kembali memperhatikan teorema tersebut.

Teorema:

Misal

$f(x)$ adalah fungsi yang kontinu dan terintegralkan pada

$I = [a,b]$ , dan

$F(x)$ sebarang antiturunan pada I, maka

$\int_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$

Nah, sekarang coba teman-teman perhatikan contoh-contoh berikut.

$\int_2^4(1-x) dx=[x-\frac{1}{2} x^2]_2^4$

$=(4-\frac{1}{2}.16)-(2-\frac{1}{2}.4)$

$=-4-0$

$=-4$

$\int_1^2 \frac{dx}{1+x}=[\ln |1+x|]_1^2$

$=\ln (1+2)-\ln (1+1)$

$=\ln 3-\ln 2$

$\int_1^2 \frac{d x}{\sqrt{1-x}}$ tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas karena integran

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x}}$ tidak terdefinisi pada

$x=1$ .

$\int_{-1}^{1}\frac{dx}{x}$ juga tidak dapat diselesaikan dengan teorema di atas karena integran

$f(x)=\frac{1}{x}$ tidak terdefinisi di

$x=0$

Dengan demikian tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Persoalan-persoalan integral seperti pada contoh 3 dan 4 dikategorikan sebagai integral tidak wajar.

Bentuk

$\int_{a}^{b}f(x)dx$ disebut Integral Tidak Wajar jika:

a. Integran

$f(x)$ mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu (diskontinu) di

$[a,b]$ , sehingga

$f(x)$ tidak terdefinisi di titik tersebut. Pada kasus ini teorema dasar kalkulus yaitu

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$ tidak berlaku lagi.

Contoh:

$\int_{0}^{4}\frac{dx}{4-x}$ ,

$f(x)$ tidak kontinu di batas atas

$x = 4$ atau

$f(x)$ kontinu di

$[0,4)$

$\int_{1}^{2}\frac{dx}{\sqrt{x-1}}$ ,

$f(x)$ tidak kontinu di batas bawah

$x = 1$ atau

$f(x)$ kontinu di

$(1,2]$

$\int_{0}^{4}\frac{dx}{(2-x)^{\frac{2}{3}}}$ ,

$f(x)$ tidak kontinu di

$x=2\in [0,4]$ atau

$f(x)$ kontinu di

$[0,2)\cup (2,4]$

b. Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga.

Contoh:

$\int_{0}^{\infty}\frac{dx}{x^{2}+4}$ , integran

$f(x)$ memuat batas atas di

$x=\infty$

$\int_{-\infty }^{0}e^{2x}dx$ , integran

$f(x)$ memuat batas bawah di

$x=-\infty$

$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dx}{1+4x^{2}}$ , integran

$f(x)$ memuat batas atas di

$x=\infty$ dan batas bawah di

$x=-\infty$

Pada contoh a (1, 2, 3) adalah integral tak wajar dengan integran

$f(x)$ tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar karena integran

$f(x)$ mempunyai batas di tak hingga (

$\infty$ ). Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi integral tak wajar dengan integran tidak kontinu dan integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

Integral tak wajar dengan integran diskontinu

$f(x)$ kontinu di

$[a,b)$ dan tidak kontinu di

$x = b$

Karena

$f(x)$ tidak kontinu di

$x = b$ , maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di

$x=b-\varepsilon$

$(\varepsilon \rightarrow 0^{+})$ ,sehingga

$\int_a^b f(x) dx=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_a^{b-\varepsilon} f(x) dx$

Atau kita juga dapat mencari nilai suatu integral tak wajar dengan cara berikut.

Karena batas atas

$x=b-\varepsilon$

$(x \rightarrow b^{-})$ maka

$\int_a^b f(x) d x=\lim _{t \rightarrow b^{-}} \int_a^t f(x) d x$

Perhatikan contoh berikut agar teman-teman dapat memahami rumus di atas dengan baik.

$\int_0^4 \frac{d x}{\sqrt{4-x}}$ ,

$f(x)$ tidak kontinu di batas atas

$x=4$ sehingga

$\int_0^4 \frac{d x}{\sqrt{4-x}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_0^{4-\varepsilon} \frac{d x}{\sqrt{4-x}}$

$=[\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}-2 \sqrt{4-x}\right]_0^{4-\varepsilon}$

$=-2 \lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[\sqrt{4-(4-\varepsilon)}-\sqrt{4-0}]$

$=-2(\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \sqrt{\varepsilon}-\sqrt{4})$

$=-2 (0-2)$

$=4$

Cara lain:

$\int_0^4 \frac{d x}{\sqrt{4-x}}=\lim _{t \rightarrow 4^{-}} \int_0^t \frac{d x}{\sqrt{4-x}}$

$=\lim _{t \rightarrow 4^{-}}[-2 \sqrt{4-x}]_{0}^{t}$

$=\lim _{t \rightarrow 4^{-}} [-2 \sqrt{4-t}+2 \sqrt{4-0}]$

$=-2(0)+2(2)$

$=4$

$\int_{-2}^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}},f(x)=\frac{1}{\sqrt{4-x^2}}$

Fungsi di atas tidak kontinu di

$x=2$ dan

$x=-2$ , sehingga:

$\int_{-2}^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}}=2 \int_0^2 \frac{d x}{\sqrt{4-x^2}}$

$=2[\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \arcsin \frac{x}{2}]_0^{2-\varepsilon}$

$=2\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} [\arcsin \frac{2-\varepsilon }{2}-\arcsin 0]$

$=2(\arcsin 1-\arcsin 0)$

$=2(\frac{\pi}{2}-0)$

$=\pi$

$\int_0^4 \frac{d x}{(4-x)^{\frac{3}{2}}}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} [\frac{2}{\sqrt{4-x}}]_0^{4-\varepsilon}$ ,

$f(x)$ tidak kontinu di batas atas

$x=4$ sehingga diperoleh

$\int_{0}^{4} \frac{d x}{(4-x)^{\frac{3}{2}}}=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}\left[\frac{2}{\sqrt{4-(4-\varepsilon)}}-\frac{2}{\sqrt{4-0}}\right]$

= tidak berarti, karena mempunyai bentuk

$\frac{2}{0}$

$f(x)$ kontinu di

$(a,b]$ dan tidak kontinu di

$x = a$

Karena

$f(x)$ tidak kontinu di

$x = a$ , maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di

$x=a+\varepsilon$

$(\varepsilon \rightarrow 0^{+})$ , sehingga

$\int_a^b f(x) d x=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{a+\varepsilon}^b f(x) d x$

Atau dengan cara lain, karena batas bawah

$x=a+\varepsilon$

$(x\rightarrow a^{+})$ maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:

$\int_a^b f(x) d x=\lim _{t \rightarrow a^{+}} \int_t^b f(x) d x$

Perhatikan contoh-contoh berikut untuk lebih memahaminya.

$\int_3^4 \frac{3 d x}{\sqrt{x-3}}=\lim _{t \rightarrow 3^{+}} \int_t^4 \frac{3 d x}{\sqrt{x-3}}$

$=\lim _{t \rightarrow 3^{+}}[6 \sqrt{x-3}]_t^4$

$=\lim _{t \rightarrow 3^{+}}[6 \sqrt{4-3}-6 \sqrt{t-3}]$

$=6(1)-6(0)$

$=6$

$\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{x}}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{0+\varepsilon}^1 \frac{d x}{\sqrt{x}}$ ,

$f(x)$ tidak kontinu di batas bawah

$x = 0$ sehingga diperoleh:

$\int_0^1 \frac{d x}{\sqrt{x}}=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[2 \sqrt{x}]_{0+\varepsilon}^1$

$=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[2 \sqrt{1}-2 \sqrt{0+\varepsilon}]$

$=2-0$

$=2$

$\int_0^1 \ln x d x=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[x \ln x-x]_{0+\varepsilon}^1$ ,

$f(x)$ tidak kontinu di batas bawah

$x=0$

$=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[(1 \ln 1-1)-((0+\varepsilon) \ln (0+\varepsilon)-(0+\varepsilon))]$

$=(1.0-1)-(0-0)$

$=-1$

$f(x)$ kontinu di

$[a,c) \cup (c,b]$ dan tidak kontinu di

$x = c$

Karena

$f(x)$ tidak terdefinisi di

$x = c$ , maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di

$x=c+\varepsilon$ dan

$x=c-\varepsilon$

$(\varepsilon \rightarrow 0^{+})$ , sehingga

$\int_a^b f(x) d x=\int_a^c f(x) d x+\int_c^b f(x) d x$

$=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_a^{c-\varepsilon} f(x) dx+\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{c+\varepsilon}^b f(x) dx$

Dapat juga dinyatakan dengan

$\int_a^b f(x) d x=\lim _{t \rightarrow b^{-}} \int_a^t f(x) d x+\lim _{t \rightarrow a^{+}} \int_t^b f(x) dx$

Perhatikan beberapa contoh di bawah ini.

$\int_{-1}^8 x^{-\frac{1}{3}} dx$ ,

$f(x)$ tidak kontinu

$x=0$ sehingga diperoleh

$\int_{-1}^0 x^{-\frac{1}{3}} dx+\int_0^8 x^{-\frac{1}{3}} d x =\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{0-\varepsilon} x^{-\frac{1}{3}} d x+\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{0+\varepsilon}^8 x^{-\frac{1}{3}} dx$

$=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}]_{-1}^{0-\varepsilon}+\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}]_{0+\varepsilon}^8$

$=-\frac{3}{2}+6$

$=\frac{9}{2}$

$\int_{-1}^1 \frac{d x}{x^4}$ ,

$f(x)$ diskontinu di

$x=0$ , sehingga diperoleh:

$\int_{-1}^1 \frac{d x}{x^4} =\int_{-1}^0 \frac{d x}{x^4}+\int_0^1 \frac{d x}{x^4}$

$=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{-1}^{0-\varepsilon} \frac{d x}{x^4}+\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{0+\varepsilon}^1 \frac{d x}{x^4}$

$=\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[\frac{-1}{3 x^3}]_{-1}^{0-\varepsilon}+\lim_{\varepsilon \rightarrow 0^{+}}[\frac{-1}{3 x^3}]_{0+\varepsilon}^1$

$=$ tidak berarti, karena memuat bentuk

$\frac{1}{0}$

Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga

Bentuk integral tak wajar dengan batas tak hingga jika sekurang-kurangnya batas-batas integrasinya memuat tak hingga. Selesaiannya berbeda dengan integral tak wajar yang integrannya tidak kontinu di salah satu batas integrasinya.

A. Intergral tak wajar dengan batas atas

$x=\infty$ .

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas atas dengan sebarang variabel dimana variabel tersebut mendekati tak hingga. Dengan demikian integral tak wajar dengan batas atas tak hingga mempunyai selesaian berbentuk

$\int_{a}^{\infty } f(x)dx=\lim_{t\rightarrow \infty }\int_{a}^{t}f(x)dx$

Perhatikan contoh berikut ini.

$\int_0^{\infty} \frac{d x}{x^2+4}=\lim _{t \rightarrow \infty} \int_0^t \frac{d x}{x^2+4}$

$=\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2} \arctan \frac{x}{2}\right]_0^t$

$=\lim _{t \rightarrow \infty}[\frac{1}{2} \arctan \frac{t}{2}-\frac{1}{2} \arctan 0]$

$=\frac{1}{2}\arctan(\infty )-\frac{1}{2} \arctan 0$

$=\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2}-\frac{1}{2}.0$

$=\frac{\pi}{4}$

$\int_1^{\infty} \frac{d x}{x^2}=\lim _{t \rightarrow \infty} \int_1^t \frac{d x}{x^2}$

$=\lim _{t \rightarrow \infty}[-\frac{1}{x}]_1^t$

$=\lim _{t \rightarrow \infty}[-\frac{1}{t}+1]$

$=-\frac{1}{\infty }+1$

$=0+1$

$=1$

B. Integral tak wajar dengan batas bawah di

$x=-\infty$

Selesaiannya cukup dengan mengganti batas bawah dengan sebarang variabel dimana variabel tersebut mendekati (negatif) tak hingga. Dengan demikian, integral tak wajar dengan batas bawah tak hingga mempunyai selesaian:

$\int_{-\infty}^a f(x) d x=\lim _{t \rightarrow-\infty} \int_t^a f(x) d x$

Agar lebih memahaminya perhatikan contoh-contoh berikut.

$\int_{-\infty}^0 e^{2 x} dx=\lim _{t \rightarrow-\infty}[\frac{1}{2} e^{2 x}]_t^0$

$=\lim _{t \rightarrow-\infty}[\frac{1}{2} .1-\frac{1}{2} e^{2 t}]$

$=\frac{1}{2}-0$

$=\frac{1}{2}$

$\int_{-\infty}^0 \frac{d x}{(4-x)^2}=\lim _{t \rightarrow-\infty}[\frac{1}{4-x}]_t^0$

$=\lim _{t \rightarrow-\infty}[\frac{1}{4-0}-\frac{1}{4-t}]$

$=\frac{1}{4}-0$

$=\frac{1}{4}$

C. Integral tak wajar batas atas

$x=\infty$ dan batas bawah di

$x=-\infty$

Khusus untuk bentuk integral ini diubah terlebih dahulu menjadi penjumlahan dua integral tak wajar dengan

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx=\int_{-\infty}^a f(x) d x+\int_a^{\infty} f(x) d x$ , sehingga bentuk penjumlahan integral tak wajar ini dapat diselesaikan dengan cara A dan B seperti di atas, atau diperoleh bentuk:

$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx =\int_{-\infty}^a f(x) d x+\int_a^{\infty} f(x) d x$

$=\lim _{t \rightarrow-\infty} \int_t^a f(x) d x+\lim _{t \rightarrow \infty} \int_a^t f(x) d x$

Perhatikan contoh di bawah ini:

$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d x}{1+4 x^2}=\int_{-\infty}^0 \frac{d x}{1+4 x^2}+\int_0^{\infty} \frac{d x}{1+4 x^2}$

$=\lim _{t \rightarrow-\infty}[\frac{arctan (2x)}{2}]_t^0+\lim _{t \rightarrow \infty}[\frac{arctan (2x)}{2}]_0^t$

$=\lim _{t \rightarrow-\infty}[0-\frac{arctan (2t)}{2}]+\lim _{t \rightarrow \infty}[\frac{arctan (2t)}{2}-0]$

$=[0-(-\frac{\pi }{4})]+[\frac{\pi }{4}-0]$

$=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}$

$=\frac{\pi }{2}$

Belajar Tentang Dunia dan Isinya

Yuks yaks yuks belajar bareng-bareng

Integral Tak Wajar

0 komentar:

Posting Komentar

Popular Posts

Blog Archive

Cari Blog Ini

Laporkan Penyalahgunaan

Kode Etik Guru dan Organisasi Profesi Guru

BTemplates.com

Blogroll

About