`\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n-1}+a_{n}`
Huruf Yunani `\sum` (huruf kapital sigma, yang berpadanan dengan huruf latin `S`), singkatan dari "jumlah (sum)." Indeks penjumlahan `k` menyatakan kapan penjumlahan dimulai yaitu pada bilangan di bawah simbol `\sum` dan kapan penjumlahan berakhir yaitu pada bilangan di atas `\sum`. Kita dapat menggunakan huruf sebarang selain `k` untuk melambangkan indeks, tetapi huruf yang biasa dipakai adalah `i`, `j`, dan `k`.
Coba perhatikan jumlah:
`1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+100^{2}`
Bentuk penjumlahan di atas dapat dituliskan dalam bentuk kompak sebagai berikut.
`\sum_{k=1}^{100}k^{2}`
Contoh lainnya adalah:
1. `\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}`
2. `\sum_{i=1}^{4}\frac{i}{i^{2}+1}=\frac{1}{1^{2}+1}+\frac{2}{2^{2}+1}+\frac{3}{3^{2}+1}+\frac{4}{4^{2}+1}`
3. `\sum_{i=1}^{100}f(i)=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(100)`
Berikut ini adalah aturan aljabar untuk jumlah berhingga.
1. Aturan Jumlah: `\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}`
2. Aturan Selisih: `\sum_{k=1}^{n}(a_{k}-b_{k})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sum_{k=1}^{n}b_{k}`
3. Aturan Kelipatan Konstanta:`\sum_{k=1}^{n}ca_{k}=c\sum_{k=1}^{n}a_{k}` (`c` adalah sebarang nilai konstanta)
4. Aturan Nilai Konstanta:`\sum_{k=1}^{n}c=n.c` (`c` adalah sebarang nilai konstanta)
2. Aturan Selisih: `\sum_{k=1}^{n}(a_{k}-b_{k})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sum_{k=1}^{n}b_{k}`
3. Aturan Kelipatan Konstanta:`\sum_{k=1}^{n}ca_{k}=c\sum_{k=1}^{n}a_{k}` (`c` adalah sebarang nilai konstanta)
4. Aturan Nilai Konstanta:`\sum_{k=1}^{n}c=n.c` (`c` adalah sebarang nilai konstanta)
Bukti untuk setiap aturan di atas:
1. `\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+...+(a_{n}+b_{n})`
`=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+b_{1}+b_{2}+...+b_{n}`
`=\sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}`
2. `\sum_{k=1}^{n}(a_{k}-b_{k})=(a_{1}-b_{1})+(a_{2}-b_{2})+...+(a_{n}-b_{n})`
`=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}-b_{1}-b_{2}-...-b_{n}`
`=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}-(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})`
`=\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sum_{k=1}^{n}b_{k}`
3. `\sum_{k=1}^{n}ca_{k}=ca_{1}+ca_{2}+...+ca_{n}`
`=c(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})`
`=c\sum_{k=1}^{n}a_{k}`
4. `\sum_{k=1}^{n}c=c+c+c+...+c` (ada n suku)
`=n.c`
1. `\sum_{k=1}^{3}(k+2)=\sum_{k=1}^{3}k+\sum_{k=1}^{3}2`
`=(1+2+3)+(3.2)`
`=6+6`
`=12`
2. `\sum_{j=1}^{7}5=7(5)=35`
3. `\sum_{k=1}^{3}(k-4)=\sum_{k=1}^{3}k-\sum_{k=1}^{3}4`
`=(1+2+3)-(3.4)`
`=6-12`
`=-6`
4. `\sum_{j=1}^{100}(-6)=100(-6)=-600`
5. `\sum_{k=1}^{4}(-2k)=-2\sum_{k=1}^{4}k`
`=-2(1+2+3+4)`
`=-2(10)`
`=-20`
6. `\sum_{j=0}^{2}x^{3}=\sum_{k=1}^{3}x^{3}=3x^{3}=x^{3}+x^{3}+x^{3}`
Suatu jumlah dapat dituliskan dalam lebih dari satu cara dengan notasi sigma melalui pengubahan batas-batas jumlah. Berikut ini adalah contohnya:
`\sum_{k=1}^{5}2k=2+4+6+8+10`
`\sum_{k=0}^{4}(2k+2)=2+4+6+8+10`
`\sum_{k=2}^{6}(2k-2)=2+4+6+8+10`
Ada beberapa jumlah khusus yaitu dijelaskan sebagai berikut.
1. Jumlah dari `n` bilangan bulat pertama adalah:
`\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}`
2. Jumlah kuadrat `n` bilangan bulat pertama adalah:
`\sum_{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`
3. Jumlah kubik `n` bilangan bulat pertama adalah:
`\sum_{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(\frac{n(n+1)}{2})^{2}`
`\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}`
2. Jumlah kuadrat `n` bilangan bulat pertama adalah:
`\sum_{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`
3. Jumlah kubik `n` bilangan bulat pertama adalah:
`\sum_{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(\frac{n(n+1)}{2})^{2}`
Dalam rumus `\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`
Atau
`1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`
Ruas kiri dari kesamaan, dikatakan bahwa jumlah diekspresikan dalam bentuk terbuka dan ruas kanan dikatakan mengekspresikan jumlah dalam bentuk tertutup.
Contoh:
Ekspresikan `\sum_{k=1}^{n}(3+k)^{2}` dalam bentuk tertutup.
Solusi:
`\sum_{k=1}^{n}(3+k)^{2}=\sum_{k=1}^{n}(9+6k+k^{2})`
`=\sum_{k=1}^{n}9+\sum_{k=1}^{n}6k+\sum_{k=1}^{n}k^{2}`
`=\sum_{k=1}^{n}9+6\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}k^{2}`
`=9n+\frac{6n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`
`=\frac{54n+18n^{2}+18n+2n^{3}+3n^{2}+n}{6}`
`=\frac{2n^{3}+21n^{2}+73n}{6}`
`=\frac{1}{3}n^{3}+\frac{7}{2}n^{2}+\frac{73}{6}n`
Sekarang, kita akan membahas contoh-contoh soal yang berkaitan dengan notasi sigma.
1. Andaikan `\sum_{k=1}^{n}a_{k}=-5` dan `\sum_{k=1}^{n}b_{k}=6`.
Carilah nilai
a. `\sum_{k=1}^{n}\frac{b_{k}}{6}`
b. `\sum_{k=1}^{n}(b_{k}-2a_{k})`
Penyelesaian:
a. `\sum_{k=1}^{n}\frac{b_{k}}{6}=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{1}{6}(6)=1`
b. `\sum_{k=1}^{n}(b_{k}-2a_{k})=\sum_{k=1}^{n}b_{k}-\sum_{k=1}^{n}2a_{k}`
`=\sum_{k=1}^{n}b_{k}-2\sum_{k=1}^{n}a_{k}`
`=6-2(-5)`
`=6+10`
`=16`
2. Hitunglah jumlah `\sum_{k=1}^{5}k(3k+5)`
Penyelesaian:
`\sum_{k=1}^{5}k(3k+5)=\sum_{k=1}^{5}(3k^{2}+5k)`
`=3\sum_{k=1}^{5}k^{2}+5\sum_{k=1}^{5}k`
`=3(\frac{5(5+1)(2(5)+1)}{6})+5(\frac{5(5+1)}{2})`
`=\frac{990}{6}+\frac{150}{2}`
`=165+75`
`=240`
3. Hitunglah jumlah `\sum_{k=3}^{17}k^{2}`
Penyelesaian:
Misalkan `j=k-2\Rightarrow k=j+2`
Jika `k=3\Rightarrow j=3-2=1` dan jika `k=17\Rightarrow j=17-2=15`
Sehingga
`\sum_{k=3}^{17}k^{2}=\sum_{j=1}^{15}(j+2)^{2}`
`=\sum_{j=1}^{15}(j^{2}+4j+4)`
`=\sum_{j=1}^{15}j^{2}+4\sum_{j=1}^{15}j+\sum_{j=1}^{15}4`
`=\frac{15(15+1)(2(15)+1)}{6}+4(\frac{15(15+1)}{2})+15(4)`
`=\frac{7440}{6}+\frac{960}{2}+60`
`=1240+480+60`
`=1780`
.jpg)
0 komentar:
Posting Komentar