n∑k=1ak=a1+a2+a3+...
Huruf Yunani \sum (huruf kapital sigma, yang berpadanan dengan huruf latin S), singkatan dari "jumlah (sum)." Indeks penjumlahan k menyatakan kapan penjumlahan dimulai yaitu pada bilangan di bawah simbol \sum dan kapan penjumlahan berakhir yaitu pada bilangan di atas \sum. Kita dapat menggunakan huruf sebarang selain k untuk melambangkan indeks, tetapi huruf yang biasa dipakai adalah i, j, dan k.
Coba perhatikan jumlah:
1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+100^{2}
Bentuk penjumlahan di atas dapat dituliskan dalam bentuk kompak sebagai berikut.
\sum_{k=1}^{100}k^{2}
Contoh lainnya adalah:
1. \sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}
2. \sum_{i=1}^{4}\frac{i}{i^{2}+1}=\frac{1}{1^{2}+1}+\frac{2}{2^{2}+1}+\frac{3}{3^{2}+1}+\frac{4}{4^{2}+1}
3. \sum_{i=1}^{100}f(i)=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(100)
Berikut ini adalah aturan aljabar untuk jumlah berhingga.
1. Aturan Jumlah: \sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}
2. Aturan Selisih: \sum_{k=1}^{n}(a_{k}-b_{k})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sum_{k=1}^{n}b_{k}
3. Aturan Kelipatan Konstanta:\sum_{k=1}^{n}ca_{k}=c\sum_{k=1}^{n}a_{k} (c adalah sebarang nilai konstanta)
4. Aturan Nilai Konstanta:\sum_{k=1}^{n}c=n.c (c adalah sebarang nilai konstanta)
2. Aturan Selisih: \sum_{k=1}^{n}(a_{k}-b_{k})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sum_{k=1}^{n}b_{k}
3. Aturan Kelipatan Konstanta:\sum_{k=1}^{n}ca_{k}=c\sum_{k=1}^{n}a_{k} (c adalah sebarang nilai konstanta)
4. Aturan Nilai Konstanta:\sum_{k=1}^{n}c=n.c (c adalah sebarang nilai konstanta)
Bukti untuk setiap aturan di atas:
1. \sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+...+(a_{n}+b_{n})
=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+b_{1}+b_{2}+...+b_{n}
=\sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}
2. \sum_{k=1}^{n}(a_{k}-b_{k})=(a_{1}-b_{1})+(a_{2}-b_{2})+...+(a_{n}-b_{n})
=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}-b_{1}-b_{2}-...-b_{n}
=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}-(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})
=\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sum_{k=1}^{n}b_{k}
3. \sum_{k=1}^{n}ca_{k}=ca_{1}+ca_{2}+...+ca_{n}
=c(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})
=c\sum_{k=1}^{n}a_{k}
4. \sum_{k=1}^{n}c=c+c+c+...+c (ada n suku)
=n.c
1. \sum_{k=1}^{3}(k+2)=\sum_{k=1}^{3}k+\sum_{k=1}^{3}2
=(1+2+3)+(3.2)
=6+6
=12
2. \sum_{j=1}^{7}5=7(5)=35
3. \sum_{k=1}^{3}(k-4)=\sum_{k=1}^{3}k-\sum_{k=1}^{3}4
=(1+2+3)-(3.4)
=6-12
=-6
4. \sum_{j=1}^{100}(-6)=100(-6)=-600
5. \sum_{k=1}^{4}(-2k)=-2\sum_{k=1}^{4}k
=-2(1+2+3+4)
=-2(10)
=-20
6. \sum_{j=0}^{2}x^{3}=\sum_{k=1}^{3}x^{3}=3x^{3}=x^{3}+x^{3}+x^{3}
Suatu jumlah dapat dituliskan dalam lebih dari satu cara dengan notasi sigma melalui pengubahan batas-batas jumlah. Berikut ini adalah contohnya:
\sum_{k=1}^{5}2k=2+4+6+8+10
\sum_{k=0}^{4}(2k+2)=2+4+6+8+10
\sum_{k=2}^{6}(2k-2)=2+4+6+8+10
Ada beberapa jumlah khusus yaitu dijelaskan sebagai berikut.
1. Jumlah dari n bilangan bulat pertama adalah:
\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}
2. Jumlah kuadrat n bilangan bulat pertama adalah:
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
3. Jumlah kubik n bilangan bulat pertama adalah:
\sum_{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(\frac{n(n+1)}{2})^{2}
\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}
2. Jumlah kuadrat n bilangan bulat pertama adalah:
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
3. Jumlah kubik n bilangan bulat pertama adalah:
\sum_{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(\frac{n(n+1)}{2})^{2}
Dalam rumus \sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
Atau
1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
Ruas kiri dari kesamaan, dikatakan bahwa jumlah diekspresikan dalam bentuk terbuka dan ruas kanan dikatakan mengekspresikan jumlah dalam bentuk tertutup.
Contoh:
Ekspresikan \sum_{k=1}^{n}(3+k)^{2} dalam bentuk tertutup.
Solusi:
\sum_{k=1}^{n}(3+k)^{2}=\sum_{k=1}^{n}(9+6k+k^{2})
=\sum_{k=1}^{n}9+\sum_{k=1}^{n}6k+\sum_{k=1}^{n}k^{2}
=\sum_{k=1}^{n}9+6\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}k^{2}
=9n+\frac{6n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
=\frac{54n+18n^{2}+18n+2n^{3}+3n^{2}+n}{6}
=\frac{2n^{3}+21n^{2}+73n}{6}
=\frac{1}{3}n^{3}+\frac{7}{2}n^{2}+\frac{73}{6}n
Sekarang, kita akan membahas contoh-contoh soal yang berkaitan dengan notasi sigma.
1. Andaikan \sum_{k=1}^{n}a_{k}=-5 dan \sum_{k=1}^{n}b_{k}=6.
Carilah nilai
a. \sum_{k=1}^{n}\frac{b_{k}}{6}
b. \sum_{k=1}^{n}(b_{k}-2a_{k})
Penyelesaian:
a. \sum_{k=1}^{n}\frac{b_{k}}{6}=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{1}{6}(6)=1
b. \sum_{k=1}^{n}(b_{k}-2a_{k})=\sum_{k=1}^{n}b_{k}-\sum_{k=1}^{n}2a_{k}
=\sum_{k=1}^{n}b_{k}-2\sum_{k=1}^{n}a_{k}
=6-2(-5)
=6+10
=16
2. Hitunglah jumlah \sum_{k=1}^{5}k(3k+5)
Penyelesaian:
\sum_{k=1}^{5}k(3k+5)=\sum_{k=1}^{5}(3k^{2}+5k)
=3\sum_{k=1}^{5}k^{2}+5\sum_{k=1}^{5}k
=3(\frac{5(5+1)(2(5)+1)}{6})+5(\frac{5(5+1)}{2})
=\frac{990}{6}+\frac{150}{2}
=165+75
=240
3. Hitunglah jumlah \sum_{k=3}^{17}k^{2}
Penyelesaian:
Misalkan j=k-2\Rightarrow k=j+2
Jika k=3\Rightarrow j=3-2=1 dan jika k=17\Rightarrow j=17-2=15
Sehingga
\sum_{k=3}^{17}k^{2}=\sum_{j=1}^{15}(j+2)^{2}
=\sum_{j=1}^{15}(j^{2}+4j+4)
=\sum_{j=1}^{15}j^{2}+4\sum_{j=1}^{15}j+\sum_{j=1}^{15}4
=\frac{15(15+1)(2(15)+1)}{6}+4(\frac{15(15+1)}{2})+15(4)
=\frac{7440}{6}+\frac{960}{2}+60
=1240+480+60
=1780
.jpg)
0 komentar:
Posting Komentar