Metode Substitusi

Pada pembahasan sebelumnya, kita telah membahas mengenai integral tak tentu yang mencakup rumus dan aturan-aturan serta contoh soal mencari antiturunan dari fungsi f(x). Dan kali ini, kita juga masih membicarakan topik integral tak tentu dengan beberapa teknik penyelesaian, yaitu teknik substitusi (permisalan), integral fungsi trigonometri, teknik substitusi fungsi trigonometri, integral fungsi rasional, dan integral fungsi rasional yang memuat fungsi trigonometri. Agar lebih memahami bagaimana sih itu teknik integral substitusi, yuk simak penjelasan berikut!

Teknik substitusi adalah salah satu cara dalam menyelesaikan soal integral tak tentu. Dengan menerapkan teknik (metode) ini, kita menggunakan variabel u untuk memisalkan suatu fungsi. Namun, sembarang huruf seperti v, t, `\theta` dan seterusnya juga dapat digunakan. Untuk mencari `\int f(g(x))g'(x)dx` dengan teknik substitusi kita dapat mengikuti langkah-langkah berikut.

1. Sustitusikan `u=g(x)` dan `du=g'(x)dx` untuk memperoleh `\int f(u)du`. 
2. Integrasikan terhadap u.
3. Gantikan u dengan g(x).

Contoh:

1. Hitunglah `\int \sqrt{3-2x}dx`

Solusi:

Misalkan `u=3-2x` maka `du=-2dx\rightarrow dx=-\frac{1}{2}du`

Dengan teknik substitusi kita memperoleh,

`\int \sqrt{3-2x}dx`

`=\int \sqrt{u}(-\frac{1}{2}du)`

`=\int u^{\frac{1}{2}}(-\frac{1}{2}du)`

`=-\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}du`

`=-\frac{1}{2}.\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C`

`=-\frac{1}{2}.\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C`

`=-\frac{1}{3}u^{\frac{3}{2}}+C`

`=-\frac{1}{3}(3-2x)^{\frac{3}{2}}+C`

`=-\frac{1}{3}(3-2x)\sqrt{3-2x}+C`

2. Tentukan `\int (4x-2)^{10}dx`

Solusi:

Misalkan `u=4x-2` maka `du=4dx\rightarrow dx=\frac{du}{4}`

Sehingga dengan mensubstitusikan kita memiliki

`\int (4x-2)^{10}dx`

`=\int u^{10}\frac{du}{4}`

`=\frac{1}{4}\int u^{10}du`

`=\frac{1}{4}(\frac{u^{11}}{11})+C`

`=\frac{u^{11}}{44}+C`

`=\frac{(4x-2)^{11}}{44}+C`

3. Carilah `\int 3x^{5}\sqrt{x^{3}+1}dx`

Solusi:

Misalkan `u=x^{3}+1` maka `du=3x^{2}dx\rightarrow dx=\frac{du}{3x^{2}}`.

Karena `u=x^{3}+1` maka `x^{3}=u-1`.

Sehingga dengan cara substitusi diperoleh,

`\int 3x^{5}\sqrt{x^{3}+1}dx=\int 3x^{3}x^{2}\sqrt{u}\frac{du}{3x^{2}}`

`=\int x^{3}\sqrt{u}du`

`=\int (u-1)\sqrt{u}du`

`=\int (u.u^{\frac{1}{2}}-u^{\frac{1}{2}})du`

`=\int (u^{\frac{3}{2}}-u^{\frac{1}{2}})du`

`=\int u^{\frac{3}{2}}du-\int u^{\frac{1}{2}}du`

`=\frac{2}{5}u^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C`

`=\frac{2}{5}(x^{3}+1)^{\frac{5}{2}}-\frac{2}{3}(x^{3}+1)^{\frac{3}{2}}+C`

`=\frac{2}{5}(x^{3}+1)^{2}\sqrt{x^{3}+1}-\frac{2}{3}(x^{3}+1)\sqrt{x^{3}+1}+C`

4. Tentukan `\int \frac{s}{\sqrt{5s+4}}ds`

Solusi:

Misalkan `u=\sqrt{5s+4}`

`\Leftrightarrow u^{2}=5s+4`

`\Leftrightarrow d(u^{2})=d(5s+4)`

`\Leftrightarrow 2udu=5ds`

`\Leftrightarrow ds=\frac{2udu}{5}`

Karena `u^{2}=5s+4` maka `s=\frac{u^{2}-4}{5}`.

Sehingga dengan teknik substitusi kita memiliki

`\int \frac{s}{\sqrt{5s+4}}ds`

`=\int \frac{\frac{u^{2}-4}{5}}{u}.\frac{2udu}{5}`

`=\int \frac{(u^{2}-4)}{5u}.\frac{2udu}{5}`

`=\int \frac{2(u^{2}-4)}{25}du`

`=\frac{2}{25}\int (u^{2}-4)du`

`=\frac{2}{25}(\int u^{2}du-\int 4du)`

`=\frac{2}{25}(\frac{u^{3}}{3}-4u)+C`

`=\frac{2}{75}u^{3}-\frac{8}{25}u+C`

`=\frac{2}{75}(5s+4)(\sqrt{5s+4})-\frac{8}{25}(\sqrt{5s+4})+C`

5. Carilah `\int sinxcosxdx`

Solusi:

Misalkan `u=sinx` maka `du=cosxdx`

Sehingga dengan substitusi diperoleh,

`\int sinxcosxdx`

`=\int udu`

`=\frac{u^{2}}{2}+C`

`=\frac{sin^{2}x}{2}+C`

atau

Misalkan `u=cosx` maka `du=-sinxdx`

Sehingga dengan substitusi diperoleh,

`\int sinxcosxdx`

`=\int cosxsinxdx`

`=\int -udu`

`=-\frac{u^{2}}{2}+C`

`=-\frac{cos^{2}x}{2}+C`

6. Tentukan integral `\int \frac{12t^{2}}{\sqrt{3-t^{3}}}dt`

Solusi:

Misalkan `u=3-t^{3}` maka `du=-3t^{2}dt\rightarrow dt=\frac{du}{-3t^{2}}=-\frac{du}{3t^{2}}`

Sehingga dengan teknik substitusi kita memperoleh,

`\int \frac{12t^{2}}{\sqrt{3-t^{3}}}dt`

`=\int \frac{12t^{2}}{\sqrt{u}}(-\frac{du}{3t^{2}})`

`=\int \frac{-4du}{u^{\frac{1}{2}}}`

`=\int -4u^{-\frac{1}{2}}du`

`=\frac{-4u^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+C`

`=\frac{-4u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C`

`=-8u^{\frac{1}{2}}+C`

`=-8(3-t^{3})^{\frac{1}{2}}+C`

7. Hitunglah `\int x(x+3)^{\frac{5}{2}}dx`

Solusi:

Misalkan `u=(x+3)^{\frac{5}{2}}`

`\Leftrightarrow u^{2}=(x+3)^{5}`

`\Leftrightarrow d(u^{2})=d((x+3)^{5})`

`\Leftrightarrow 2udu=5(x+3)^{4}(1)dx`

`\Leftrightarrow dx=\frac{2udu}{5(x+3)^{4}}`

Dengan teknik substitusi diperoleh,

`\int x(x+3)^{\frac{5}{2}}dx`

`=\int xu(\frac{2udu}{5(x+3)^{4}})`

`=\int \frac{2x}{5(x+3)^{4}}u^{2}du`

`=\frac{2x}{5(x+3)^{4}}\int u^{2}du`

`=\frac{2x}{5(x+3)^{4}}(\frac{1}{3}u^{3})+C`

`=\frac{2x}{15(x+3)^{4}}u^{3}+C`

`=\frac{2x}{15(x+3)^{4}}(x+3)^{\frac{15}{2}}+C`

`=\frac{2x}{15}(x+3)^\frac{7}{2}+C`