Integral Tak Tentu

Sebelumnya, teman-teman pasti telah mempelajari cara menurunkan suatu fungsi yang diberikan pada saat belajar kalkulus diferensial. Nah, dalam artikel kali ini kita akan membahas metode pengerjaan dengan urutan terbalik. Misalnya, diberikan fungsi f, kita ingin mencari fungsi F yang apabila diturunkan menjadi fungsi f. Jika fungsi F ada, maka fungsi ini disebut antiturunan dari f. Bentuknya dapat dituliskan sebagai berikut. 

`F^{'}(x)=f(x)`

Istilah antiturunan lebih dikenal dengan integral. Integral tak tentu dari fungsi f terhadap x didefinisikan sebagai himpunan semua antiturunan dari f, yang dilambangkan dengan `\int f(x)dx`. Karena sembarang dua antiturunan dari f hanya berbeda pada konstantanya, lambang integral tak tentu `\int` memiliki arti bahwa untuk sembarang antiturunan F dari f, berlaku 

`\int f(x)dx=F(x)+C`, 

di mana f(x) adalah integran dan C adalah sembarang konstanta.

Contoh:

Carilah antiturunan dari fungsi `f(x)=2x`.

F(x) dapat ditentukan dengan berpikir mundur: fungsi apa yang kita ketahui mempunyai turunan sama dengan fungsi yang diberikan? Jawabannya adalah `F(x)=x^{2}`. Kita dapat membuktikannya dengan cara mendiferensialkan F(x). 

`F(x)=x^{2}`

`F^{'}(x)=2x`

`f(x)=2x` 

Ternyata, fungsi `F(x)=x^{2}` bukan satu-satunya fungsi yang mempunyai turunan 2x. Fungsi `x^{2}+3` mempunyai turunan yang sama karena angka 3 bila diturunkan menjadi 0. Demikian pula fungsi `x^{2}+C` untuk sembarang konstanta C.

Berikut ini adalah aturan dan rumus antiturunan (integral). 

`\int kdx=kx+C` 

`\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C`, n ≠ -1

`\int kx^{n}dx=\frac{kx^{n+1}}{n+1}+C`, n ≠ -1

`\int kf(x)dx=k\int f(x)dx`

`\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx`

`\int (f(x)-g(x))dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx`

Untuk dapat lebih memahami rumus dan aturan di atas, yuk simak contoh-contoh soal di bawah.

1. Carilah integral `\int (x^{3}+x)^{5}(3x^{2}+1)dx`

Solusi:

Misalkan `u=x^{3}+x` maka `du=(3x^{2}+1) dx`

Dengan mensubstitusi kita memperoleh, 

`\int (x^{3}+x)^{5}(3x^{2}+1)dx`

`=\int u^{5}du`

`=\frac{u^{5+1}}{5+1}+C`

`=\frac{u^{6}}{6}+C`

`=\frac{(x^{3}+x)^{6}}{6}+C`

2. Hitunglah integral tak tentu `\int 7\sqrt{7x-1}dx`

Solusi:

Misalkan `u=7x-1` maka `du=7dx \rightarrow dx=\frac{du}{7}`

Dengan mensubstitusi kita memperoleh,

`\int7\sqrt{7x-1}dx`

`=\int 7(7x-1)^{\frac{1}{2}}dx`

`=\int 7u^{\frac{1}{2}}\frac{1}{7}du`

`=\int u^{\frac{1}{2}}du`

`=\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C`

`=\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C`

`=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C`

`=\frac{2}{3}(7x-1)^{\frac{3}{2}}+C`

3. Carilah integral `\int (3x+2)(3x^{2}+4x)^{4}dx`

Solusi:

Misalkan `u=3x^{2}+4x` maka

`du=(6x+4)dx`

`du=2(3x+2)dx`

`(3x+2)dx=\frac{1}{2}du`

Sehingga dengan substitusi kita memiliki  

`\int (3x+2)(3x^{2}+4x)^{4}dx`

`=\int u^{4}\frac{1}{2}du`

`=\frac{1}{2}\int u^{4}du`

`=\frac{1}{2}.\frac{u^{5}}{5}+C`

`=\frac{u^{5}}{10}+C`

`=\frac{1}{10}(3x^{2}+4x)^{5}+C`

4. Tentukan `\int (2x^{3}-5x+7)dx`

Solusi:

`\int (2x^{3}-5x+7)dx`

`=\int 2x^{3}dx-\int 5xdx +\int 7 dx`

`=\frac{2x^{4}}{4}-\frac{5x^{2}}{2}+7x+C`

`=\frac{1}{2}x^{4}-\frac{5}{2}x^{2}+7x+C`

Ada kondisi tertentu di mana rumus `\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C` tidak dapat dipakai untuk mencari antiturunan dari fungsi `f(x)=x^{n}`, yaitu saat n=-1 sebab ruas kanan tidak terdefinisi (penyebut pecahan adalah 0). Oleh karenanya, kita menggunakan rumus sebagai berikut. 

`\int \frac{1}{x}dx=ln|x|+C`

Adapun, rumus untuk menentukan antiturunan dari fungsi `f(x)=e^{ax}`, yaitu `\int e^{ax}dx=\frac{e^{ax}}{a}+C` 

Rumus di atas dapat dibuktikan dengan mendiferensialkan (menurunkan) antiturunan dari fungsi f. 

`\frac{d}{dx}(\frac{e^{ax}}{a} +C)=\frac{1}{a}(a)(e^{ax})=e^{ax}`

Catatan: `g=e^{h(x)}\rightarrow g'=h'(x).e^{h(x)}`

Contoh:

1. Carilah `\int e^{8x}dx`

Solusi: `\int e^{8x}dx=\frac{e^{8x}}{8}+C`

2. Tentukan `\int xe^{x^{2}}dx`

Solusi: `\int xe^{x^{2}}dx=\int e^{x^{2}}xdx`

Misalkan `u=x^{2}` maka `du=2xdx\rightarrow xdx=\frac{1}{2}du`

Sehingga dengan substitusi kita memiliki 

`\int e^{x^{2}}xdx`

`=\int e^{u} \frac{1}{2}du`

`=\frac{1}{2}\int e^{u}du`

`=\frac{1}{2}e^{u}+C`

`=\frac{1}{2}e^{x^{2}}+C`

Selain rumus-rumus dan aturan di atas yang telah dibahas, ada lagi nih teman-teman rumus integral tak tentu untuk fungsi trigonometri dari turunan fungsi trigonometri, yaitu sebagai berikut. 

`\int cosx=sinx+C`

`\int sinx=-cosx+C`

`\int sec^{2}x=tanx+C`

Contoh:

1. Tentukan `\int cos(2x+4)dx`

Solusi:

Misalkan `u=2x+4` maka `du=2dx\rightarrow dx=\frac{1}{2}du`

Dengan mensubstitusi kita memperoleh,

`\int cos(2x+4)dx`

`=\int cosu\frac{1}{2}du`

`=\frac{1}{2}\int cosudu`

`=\frac{1}{2}sinu+C`

`=\frac{1}{2}sin(2x+4)+C`

2. Carilah `\int sec^{2}(9x+3).9dx`

Solusi:

Misalkan `u=9x+3` maka `du=9dx`

Dengan mensubstitusi kita memperoleh,

`\int sec^{2}(9x+3).9dx`

`=\int sec^{2}udu`

`=tanu+C`

`=tan(9x+3)+C`