Integral Tentu_Teorema Dasar Kalkulus ~ Belajar Tentang Dunia dan Isinya

Sebelum masuk pada pembahasan teorema dasar kalkulus, teman-teman harus lebih dulu memahami rumus-rumus integral tentu yaitu sebagai berikut.

$\int_a^b k f(x) dx=k \int_a^b f(x) dx$
2.

$\int_a^b(f(x)+g(x)) dx=\int_a^b f(x) dx+\int_a^b g(x) dx$
3.

$\int_a^b(f(x)-g(x)) dx=\int_a^b f(x) dx-\int_a^b g(x) dx$
4.

$\int_a^b f(x) dx=-\int_b^a f(x) dx, a>b$
5.

$\int_a^c f(x) dx=\int_a^b f(x) dx+\int_b^c f(x) dx$

Rumus-rumus di atas membantu kita dalam menyelesaikan soal-soal integral tentu nanti.

Perhatikan contoh-contoh di bawah ini.

$\int_{-1}^{2}6x^{2}dx=6\int_{-1}^{2}x^{2}dx$

$=6[\frac{x^{3}}{3}]_{-1}^{2}$

$=2(2^{3}-(-1)^{3})$

$=2(8+1)$

$=18$

$\int_{-1}^{2}(6x^{2}-4x)dx=\int_{-1}^{2}6x^{2}dx-\int_{-1}^{2}4xdx$

$=[2x^{3}]_{-1}^{2}-[2x^{2}]_{-1}^{2}$

$=18-6$

$=12$

3. Bila |x| menyatakan nilai mutlak, hitunglah

$\int_{-1}^{3}|x|dx$ .

Solusi:

$f(x)=|x|$ berubah nilainya pada titik

$x=0$ (lihat gambar), sehingga harus diselesaikan sebagai berikut.

$\int_{-1}^{3}|x|dx=\int_{-1}^{0}|x|dx+\int_{0}^{3}|x|dx$

$=\int_{-1}^{0}(-x)dx+\int_{0}^{3}xdx$

$=[-\frac{1}{2}x^{2}]_{-1}^{0}+[\frac{1}{2}x^{2}]_{0}^{3}$

$=-\frac{1}{2}(0^{2}-(-1)^{2})+\frac{1}{2}(3^{2}-0^{2})$

$=\frac{1}{2}+\frac{9}{2}$

$=5$

Nah, sekarang kita akan membahas lebih lanjut mengenai teorema dasar kalkulus...

Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkulus dan harus diingat secara permanen.

Andaikan

$f$ fungsi kontinu pada selang

$[a,b]$ dan andaikan

$F$ fungsi sebarang anti turunan dari

$f$ , maka:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Berikut ini contoh soal yang menggunakan teorema di atas.

$\int_{-1}^{2}x^{2}dx=[\frac{x^{3}}{3}]_{-1}^{2}$

$=\frac{2^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}$

$=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}$

$=3$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^{3}2xcos2xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^{3}2x \frac{d(sin2x)}{2}$

$=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^{3}2x d(sin2x)$

$=\frac{1}{2}[\frac{sin^{4}2x}{4}]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$=\frac{1}{8}(sin^{4}\frac{\pi}{2}-sin^{4}0)$

$=\frac{1}{8}(1-0)$

$=\frac{1}{8}$

Jika

$f$ kontinu pada selang

$[a,b]$ dan

$x$ adalah sebuah (variabel) titik dalam

$[a,b]$ , maka:

$F'(x)=\frac{d}{dx}(\int_{a}^{x}f(t)dt)=f(x)$

Berikut ini contoh soal yang menggunakan teorema di atas.

$\frac{d}{dx}(\int_{0}^{x^{2}}(3t+1)dt)=\frac{d}{dx}[\frac{3t^{2}}{2}+t]_{0}^{x^{2}}$

$=\frac{d}{dx}(\frac{3}{2}x^{4}+x^{2})$

$=6x^{3}+2x$

Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata

A. Teorema Simetri

Teman-teman pasti sudah tahu bahwa suatu fungsi genap jika

$f(-x)=f(x)$ , dan ganjil jika

$f(-x)=-f(x)$ . Untuk fungsi yang demikian berlaku:

$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$ , jika

$f$ fungsi genap.
2.

$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$ , jika

$f$ fungsi ganjil.

Contoh Soal:

$\int_{-5}^{5}\frac{x^{5}}{x^{2}+4}dx=...$

Solusi:

$f(x)=\frac{x^{5}}{x^{2}+4}$

$f(-x)=\frac{(-x)^{5}}{(-x)^{2}+4}=\frac{-x^{5}}{x^{2}+4}=-\frac{x^{5}}{x^{2}+4}=-f(x)$

Karena

$f(-x)=-f(x)$ , maka

$f(x)=\frac{x^{5}}{x^{2}+4}$ adalah fungsi ganjil. Sehingga,

$\int_{-5}^{5}\frac{x^{5}}{x^{2}+4}dx=0$

$\int_{-\pi}^{\pi}cos(\frac{x}{4})dx=...$

Solusi:

$f(x)=cos(\frac{x}{4})$

$f(-x)=cos(\frac{-x}{4})=cos(-\frac{x}{4})=cos(\frac{x}{4})=f(x)$

Karena

$f(-x)=f(x)$ , maka

$f(x)=cos(\frac{x}{4})$ adalah fungsi genap. Sehingga,

$\int_{-\pi}^{\pi}cos(\frac{x}{4})dx=2\int_{0}^{\pi}cos(\frac{x}{4})dx$

$=2(4)[sin(\frac{x}{4})]_{0}^{\pi}$

$=8(sin\frac{\pi}{4}-sin0)$

$=8(\frac{1}{\sqrt{2}}-0)$

$=8(\frac{1}{\sqrt{2}})$

$=4\sqrt{2}$

B. Teorema Periodik

Suatu fungsi adalah periodik jika terdapat suatu bilangan

$p$ sedemikian sehingga

$f(x + p)= f(x)$ , untuk semua bilangan rill dalam daerah definisi

$f$ . Bilangan

$p$ adalah periode untuk fungsi periodik tersebut. Jika

$f$ suatu periodik dengan periode

$p$ , maka:

$\int_{a+p}^{b+p}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx$

Contoh Soal:

1. Hitunglah

$\int_{0}^{2\pi}|sinx|dx$

Solusi:

Karena

$f(x)=|sinx|$ fungsi periodik dengan periode

$\pi$ (lihat gambar), maka

$\int_{0}^{2\pi}|sinx|dx=\int_{0}^{\pi}|sinx|dx+\int_{\pi}^{2\pi}|sinx|dx$

$=\int_{0}^{\pi}|sinx|dx+\int_{0+\pi}^{\pi+\pi}|sinx|dx$

$=\int_{0}^{\pi}|sinx|dx+\int_{0}^{\pi}|sinx|dx$

$=2\int_{0}^{\pi}|sinx|dx$

$=2\int_{0}^{\pi}sinxdx$

$=2[-cosx]_{0}^{\pi}$

$=2(-cos\pi -(-cos0))$

$=2(1+1)$

$=4$

C. Teorema Nilai Rata-Rata untuk Integral

Jika

$f$ fungsi kontinu pada selang

$[a,b]$ , maka terdapat suatu

$c$ di antara

$a$ dan

$b$ sedemikian sehingga:

$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$

Contoh Soal:

1. Carilah nilai

$c$ sedemikian sehingga

$\int_{1}^{3}f(x)dx=f(c)(3-1)$ , jika

$f(x)=x^{2}$ .

Solusi:

$\int_{1}^{3}f(x)dx=\int_{1}^{3}x^{2}dx$

$=[\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}$

$=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}$

$=\frac{26}{3}$

$\int_{1}^{3}f(x)dx=f(c)(3-1)$

$\frac{26}{3}=c^{2}(2)$

$c^{2}=\frac{26}{6}$

$c=\pm \sqrt{\frac{26}{6}}$

$c=\pm \sqrt{\frac{13}{3}}$

$c=\pm \frac{\sqrt{39}}{3}$

Untuk

$c=-\frac{\sqrt{39}}{3}$ tidak memenuhi karena tidak terletak dalam selang

$[1,3]$ . Jadi,

$c=\frac{\sqrt{39}}{3}$

2. Carilah nilai rata-rata dari

$f$ pada

$[1,3]$ jika

$f(x)=x^{2}$ .

Solusi:

Dari

$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)$ didapat

$\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{(b-a)}=f(c)$

Pada contoh 1 kita telah memperoleh

$\int_{1}^{3}x^{2}dx=\frac{26}{3}$ . Jadi, nilai rata-rata dari

$f$ pada

$[1,3]$ adalah

$f(c)=\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{(b-a)}$

$=\frac{\int_{1}^{3}x^{2}dx}{(3-1)}$

$=\frac{\frac{26}{3}}{2}$

$=\frac{26}{6}$

$=\frac{13}{3}$

Dalam contoh 1, terlihat bahwa untuk fungsi ini,

$f(c)=c^{2}$

$f(\frac{\sqrt{39}}{3})=(\frac{\sqrt{39}}{3})^{2}$

$=\frac{39}{9}$

$=\frac{13}{3}$

Belajar Tentang Dunia dan Isinya

Yuks yaks yuks belajar bareng-bareng

Integral Tentu_Teorema Dasar Kalkulus

0 komentar:

Posting Komentar

Popular Posts

Blog Archive

Cari Blog Ini

Laporkan Penyalahgunaan

Kode Etik Guru dan Organisasi Profesi Guru

BTemplates.com

Blogroll

About