Sebelum masuk pada pembahasan teorema dasar kalkulus, teman-teman harus lebih dulu memahami rumus-rumus integral tentu yaitu sebagai berikut.
1. `\int_a^b k f(x) dx=k \int_a^b f(x) dx`
2. `\int_a^b(f(x)+g(x)) dx=\int_a^b f(x) dx+\int_a^b g(x) dx`
3. `\int_a^b(f(x)-g(x)) dx=\int_a^b f(x) dx-\int_a^b g(x) dx`
4. `\int_a^b f(x) dx=-\int_b^a f(x) dx, a>b`
5. `\int_a^c f(x) dx=\int_a^b f(x) dx+\int_b^c f(x) dx`
2. `\int_a^b(f(x)+g(x)) dx=\int_a^b f(x) dx+\int_a^b g(x) dx`
3. `\int_a^b(f(x)-g(x)) dx=\int_a^b f(x) dx-\int_a^b g(x) dx`
4. `\int_a^b f(x) dx=-\int_b^a f(x) dx, a>b`
5. `\int_a^c f(x) dx=\int_a^b f(x) dx+\int_b^c f(x) dx`
Rumus-rumus di atas membantu kita dalam menyelesaikan soal-soal integral tentu nanti.
Perhatikan contoh-contoh di bawah ini.
1. `\int_{-1}^{2}6x^{2}dx=6\int_{-1}^{2}x^{2}dx`
`=6[\frac{x^{3}}{3}]_{-1}^{2}`
`=2(2^{3}-(-1)^{3})`
`=2(8+1)`
`=18`
2. `\int_{-1}^{2}(6x^{2}-4x)dx=\int_{-1}^{2}6x^{2}dx-\int_{-1}^{2}4xdx`
`=[2x^{3}]_{-1}^{2}-[2x^{2}]_{-1}^{2}`
`=18-6`
`=12`
3. Bila |x| menyatakan nilai mutlak, hitunglah `\int_{-1}^{3}|x|dx`.
Solusi:
`f(x)=|x|` berubah nilainya pada titik `x=0` (lihat gambar), sehingga harus diselesaikan sebagai berikut.
`\int_{-1}^{3}|x|dx=\int_{-1}^{0}|x|dx+\int_{0}^{3}|x|dx`
`=\int_{-1}^{0}(-x)dx+\int_{0}^{3}xdx`
`=[-\frac{1}{2}x^{2}]_{-1}^{0}+[\frac{1}{2}x^{2}]_{0}^{3}`
`=-\frac{1}{2}(0^{2}-(-1)^{2})+\frac{1}{2}(3^{2}-0^{2})`
`=\frac{1}{2}+\frac{9}{2}`
`=5`
Nah, sekarang kita akan membahas lebih lanjut mengenai teorema dasar kalkulus...
Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkulus dan harus diingat secara permanen.
Andaikan `f` fungsi kontinu pada selang `[a,b]` dan andaikan `F` fungsi sebarang anti turunan dari `f`, maka:
`\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)`
`\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)`
1. `\int_{-1}^{2}x^{2}dx=[\frac{x^{3}}{3}]_{-1}^{2}`
`=\frac{2^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}`
`=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}`
`=3`
2. `\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^{3}2xcos2xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^{3}2x \frac{d(sin2x)}{2}`
`=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^{3}2x d(sin2x)`
`=\frac{1}{2}[\frac{sin^{4}2x}{4}]_{0}^{\frac{\pi}{4}}`
`=\frac{1}{8}(sin^{4}\frac{\pi}{2}-sin^{4}0)`
`=\frac{1}{8}(1-0)`
`=\frac{1}{8}`
Jika `f` kontinu pada selang `[a,b]` dan `x` adalah sebuah (variabel) titik dalam `[a,b]`, maka:
`F'(x)=\frac{d}{dx}(\int_{a}^{x}f(t)dt)=f(x)`
`F'(x)=\frac{d}{dx}(\int_{a}^{x}f(t)dt)=f(x)`
1. `\frac{d}{dx}(\int_{0}^{x^{2}}(3t+1)dt)=\frac{d}{dx}[\frac{3t^{2}}{2}+t]_{0}^{x^{2}}`
`=\frac{d}{dx}(\frac{3}{2}x^{4}+x^{2})`
`=6x^{3}+2x`
Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata
A. Teorema Simetri
Teman-teman pasti sudah tahu bahwa suatu fungsi genap jika `f(-x)=f(x)`, dan ganjil jika `f(-x)=-f(x)`. Untuk fungsi yang demikian berlaku:
1. `\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx`, jika `f` fungsi genap.
2. `\int_{-a}^{a}f(x)dx=0`, jika `f` fungsi ganjil.
2. `\int_{-a}^{a}f(x)dx=0`, jika `f` fungsi ganjil.
Contoh Soal:
1. `\int_{-5}^{5}\frac{x^{5}}{x^{2}+4}dx=...`
Solusi:
`f(x)=\frac{x^{5}}{x^{2}+4}`
`f(-x)=\frac{(-x)^{5}}{(-x)^{2}+4}=\frac{-x^{5}}{x^{2}+4}=-\frac{x^{5}}{x^{2}+4}=-f(x)`
Karena `f(-x)=-f(x)`, maka `f(x)=\frac{x^{5}}{x^{2}+4}` adalah fungsi ganjil. Sehingga,
`\int_{-5}^{5}\frac{x^{5}}{x^{2}+4}dx=0`
2. `\int_{-\pi}^{\pi}cos(\frac{x}{4})dx=...`
Solusi:
`f(x)=cos(\frac{x}{4})`
`f(-x)=cos(\frac{-x}{4})=cos(-\frac{x}{4})=cos(\frac{x}{4})=f(x)`
Karena `f(-x)=f(x)`, maka `f(x)=cos(\frac{x}{4})` adalah fungsi genap. Sehingga,
`\int_{-\pi}^{\pi}cos(\frac{x}{4})dx=2\int_{0}^{\pi}cos(\frac{x}{4})dx`
`=2(4)[sin(\frac{x}{4})]_{0}^{\pi}`
`=8(sin\frac{\pi}{4}-sin0)`
`=8(\frac{1}{\sqrt{2}}-0)`
`=8(\frac{1}{\sqrt{2}})`
`=4\sqrt{2}`
B. Teorema Periodik
Suatu fungsi adalah periodik jika terdapat suatu bilangan `p` sedemikian sehingga `f(x + p)= f(x)`, untuk semua bilangan rill dalam daerah definisi `f`. Bilangan `p` adalah periode untuk fungsi periodik tersebut. Jika `f` suatu periodik dengan periode `p`, maka:
`\int_{a+p}^{b+p}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx`
Contoh Soal:
1. Hitunglah `\int_{0}^{2\pi}|sinx|dx`
Solusi:
Karena `f(x)=|sinx|` fungsi periodik dengan periode `\pi` (lihat gambar), maka
`\int_{0}^{2\pi}|sinx|dx=\int_{0}^{\pi}|sinx|dx+\int_{\pi}^{2\pi}|sinx|dx`
`=\int_{0}^{\pi}|sinx|dx+\int_{0+\pi}^{\pi+\pi}|sinx|dx`
`=\int_{0}^{\pi}|sinx|dx+\int_{0}^{\pi}|sinx|dx`
`=2\int_{0}^{\pi}|sinx|dx`
`=2\int_{0}^{\pi}sinxdx`
`=2[-cosx]_{0}^{\pi}`
`=2(-cos\pi -(-cos0))`
`=2(1+1)`
`=4`
C. Teorema Nilai Rata-Rata untuk Integral
Jika `f` fungsi kontinu pada selang `[a,b]`, maka terdapat suatu `c` di antara `a` dan `b` sedemikian sehingga:
`\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)`
Contoh Soal:
1. Carilah nilai `c` sedemikian sehingga `\int_{1}^{3}f(x)dx=f(c)(3-1)`, jika `f(x)=x^{2}`.
Solusi:
`\int_{1}^{3}f(x)dx=\int_{1}^{3}x^{2}dx`
`=[\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}`
`=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}`
`=\frac{26}{3}`
`\int_{1}^{3}f(x)dx=f(c)(3-1)`
`\frac{26}{3}=c^{2}(2)`
`c^{2}=\frac{26}{6}`
`c=\pm \sqrt{\frac{26}{6}}`
`c=\pm \sqrt{\frac{13}{3}}`
`c=\pm \frac{\sqrt{39}}{3}`
Untuk `c=-\frac{\sqrt{39}}{3}` tidak memenuhi karena tidak terletak dalam selang `[1,3]`. Jadi, `c=\frac{\sqrt{39}}{3}`
2. Carilah nilai rata-rata dari `f` pada `[1,3]` jika `f(x)=x^{2}`.
Solusi:
Dari `\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)` didapat `\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{(b-a)}=f(c)`
Pada contoh 1 kita telah memperoleh `\int_{1}^{3}x^{2}dx=\frac{26}{3}`. Jadi, nilai rata-rata dari `f` pada `[1,3]` adalah
`f(c)=\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{(b-a)}`
`=\frac{\int_{1}^{3}x^{2}dx}{(3-1)}`
`=\frac{\frac{26}{3}}{2}`
`=\frac{26}{6}`
`=\frac{13}{3}`
Dalam contoh 1, terlihat bahwa untuk fungsi ini,
`f(c)=c^{2}`
`f(\frac{\sqrt{39}}{3})=(\frac{\sqrt{39}}{3})^{2}`
`=\frac{39}{9}`
`=\frac{13}{3}`
.jpg)
.jpg)
