Integral Tentu_Teorema Dasar Kalkulus

Sebelum masuk pada pembahasan teorema dasar kalkulus, teman-teman harus lebih dulu memahami rumus-rumus integral tentu yaitu sebagai berikut.

1. `\int_a^b k f(x) dx=k \int_a^b f(x) dx`
2. `\int_a^b(f(x)+g(x)) dx=\int_a^b f(x) dx+\int_a^b g(x) dx`
3. `\int_a^b(f(x)-g(x)) dx=\int_a^b f(x) dx-\int_a^b g(x) dx`
4. `\int_a^b f(x) dx=-\int_b^a f(x) dx, a>b`
5. `\int_a^c f(x) dx=\int_a^b f(x) dx+\int_b^c f(x) dx`

Rumus-rumus di atas membantu kita dalam menyelesaikan soal-soal integral tentu nanti.

Perhatikan contoh-contoh di bawah ini.

1. `\int_{-1}^{2}6x^{2}dx=6\int_{-1}^{2}x^{2}dx`

                         `=6[\frac{x^{3}}{3}]_{-1}^{2}`

                         `=2(2^{3}-(-1)^{3})`

                         `=2(8+1)`

                         `=18`

2. `\int_{-1}^{2}(6x^{2}-4x)dx=\int_{-1}^{2}6x^{2}dx-\int_{-1}^{2}4xdx`

                                        `=[2x^{3}]_{-1}^{2}-[2x^{2}]_{-1}^{2}`

                                        `=18-6`

                                        `=12`

3. Bila |x| menyatakan nilai mutlak, hitunglah `\int_{-1}^{3}|x|dx`.

Solusi:

`f(x)=|x|` berubah nilainya pada titik `x=0` (lihat gambar), sehingga harus diselesaikan sebagai berikut.

`\int_{-1}^{3}|x|dx=\int_{-1}^{0}|x|dx+\int_{0}^{3}|x|dx`

                  `=\int_{-1}^{0}(-x)dx+\int_{0}^{3}xdx`

                  `=[-\frac{1}{2}x^{2}]_{-1}^{0}+[\frac{1}{2}x^{2}]_{0}^{3}`

                  `=-\frac{1}{2}(0^{2}-(-1)^{2})+\frac{1}{2}(3^{2}-0^{2})`

                  `=\frac{1}{2}+\frac{9}{2}`

                  `=5`

Nah, sekarang kita akan membahas lebih lanjut mengenai teorema dasar kalkulus...

Yang dimaksud dengan teorema dasar kalkulus adalah suatu teorema yang mendasari kalkulus dan harus diingat secara permanen.

Andaikan `f` fungsi kontinu pada selang `[a,b]` dan andaikan `F` fungsi sebarang anti turunan dari `f`, maka:
`\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)`

Berikut ini contoh soal yang menggunakan teorema di atas.

1. `\int_{-1}^{2}x^{2}dx=[\frac{x^{3}}{3}]_{-1}^{2}`

                      `=\frac{2^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}`

                      `=\frac{8}{3}+\frac{1}{3}`

                      `=3`

2. `\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^{3}2xcos2xdx=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^{3}2x \frac{d(sin2x)}{2}`

                                            `=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}sin^{3}2x d(sin2x)`

                                            `=\frac{1}{2}[\frac{sin^{4}2x}{4}]_{0}^{\frac{\pi}{4}}`

                                            `=\frac{1}{8}(sin^{4}\frac{\pi}{2}-sin^{4}0)`

                                            `=\frac{1}{8}(1-0)`

                                            `=\frac{1}{8}`

Jika `f` kontinu pada selang `[a,b]` dan `x` adalah sebuah (variabel) titik dalam `[a,b]`, maka:
`F'(x)=\frac{d}{dx}(\int_{a}^{x}f(t)dt)=f(x)`

Berikut ini contoh soal yang menggunakan teorema di atas.

1. `\frac{d}{dx}(\int_{0}^{x^{2}}(3t+1)dt)=\frac{d}{dx}[\frac{3t^{2}}{2}+t]_{0}^{x^{2}}`

                                               `=\frac{d}{dx}(\frac{3}{2}x^{4}+x^{2})`

                                               `=6x^{3}+2x`

Teorema Simetri, Teorema Periodik, dan Teorema Nilai Rata-Rata 

A. Teorema Simetri

Teman-teman pasti sudah tahu bahwa suatu fungsi genap jika `f(-x)=f(x)`, dan ganjil jika `f(-x)=-f(x)`. Untuk fungsi yang demikian berlaku:

1. `\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx`, jika `f` fungsi genap.
2. `\int_{-a}^{a}f(x)dx=0`, jika `f` fungsi ganjil.

Contoh Soal:

1. `\int_{-5}^{5}\frac{x^{5}}{x^{2}+4}dx=...`

Solusi:

`f(x)=\frac{x^{5}}{x^{2}+4}`

`f(-x)=\frac{(-x)^{5}}{(-x)^{2}+4}=\frac{-x^{5}}{x^{2}+4}=-\frac{x^{5}}{x^{2}+4}=-f(x)`

Karena `f(-x)=-f(x)`, maka `f(x)=\frac{x^{5}}{x^{2}+4}` adalah fungsi ganjil. Sehingga,

`\int_{-5}^{5}\frac{x^{5}}{x^{2}+4}dx=0`

2. `\int_{-\pi}^{\pi}cos(\frac{x}{4})dx=...`

Solusi:

`f(x)=cos(\frac{x}{4})`

`f(-x)=cos(\frac{-x}{4})=cos(-\frac{x}{4})=cos(\frac{x}{4})=f(x)`

Karena `f(-x)=f(x)`, maka `f(x)=cos(\frac{x}{4})` adalah fungsi genap. Sehingga,

`\int_{-\pi}^{\pi}cos(\frac{x}{4})dx=2\int_{0}^{\pi}cos(\frac{x}{4})dx`

                              `=2(4)[sin(\frac{x}{4})]_{0}^{\pi}`

                              `=8(sin\frac{\pi}{4}-sin0)`

                              `=8(\frac{1}{\sqrt{2}}-0)`

                              `=8(\frac{1}{\sqrt{2}})`

                              `=4\sqrt{2}`

B. Teorema Periodik

Suatu fungsi adalah periodik jika terdapat suatu bilangan `p` sedemikian sehingga `f(x + p)= f(x)`, untuk semua bilangan rill dalam daerah definisi `f`. Bilangan `p` adalah periode untuk fungsi periodik tersebut. Jika `f` suatu periodik dengan periode `p`, maka:

`\int_{a+p}^{b+p}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(x)dx`

Contoh Soal:

1. Hitunglah `\int_{0}^{2\pi}|sinx|dx`

Solusi:

Karena `f(x)=|sinx|` fungsi periodik dengan periode `\pi` (lihat gambar), maka

`\int_{0}^{2\pi}|sinx|dx=\int_{0}^{\pi}|sinx|dx+\int_{\pi}^{2\pi}|sinx|dx`

                         `=\int_{0}^{\pi}|sinx|dx+\int_{0+\pi}^{\pi+\pi}|sinx|dx`

                         `=\int_{0}^{\pi}|sinx|dx+\int_{0}^{\pi}|sinx|dx`

                         `=2\int_{0}^{\pi}|sinx|dx`

                         `=2\int_{0}^{\pi}sinxdx`

                         `=2[-cosx]_{0}^{\pi}`

                         `=2(-cos\pi -(-cos0))`

                         `=2(1+1)`

                         `=4`

C. Teorema Nilai Rata-Rata untuk Integral

Jika `f` fungsi kontinu pada selang `[a,b]`, maka terdapat suatu `c` di antara `a` dan `b` sedemikian sehingga:

`\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)`

Contoh Soal:

1. Carilah nilai `c` sedemikian sehingga `\int_{1}^{3}f(x)dx=f(c)(3-1)`, jika `f(x)=x^{2}`.

Solusi:

`\int_{1}^{3}f(x)dx=\int_{1}^{3}x^{2}dx`

                    `=[\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3}`

                    `=\frac{27}{3}-\frac{1}{3}`

                    `=\frac{26}{3}`

`\int_{1}^{3}f(x)dx=f(c)(3-1)`

`\frac{26}{3}=c^{2}(2)`

`c^{2}=\frac{26}{6}`

`c=\pm \sqrt{\frac{26}{6}}`

`c=\pm \sqrt{\frac{13}{3}}`

`c=\pm \frac{\sqrt{39}}{3}`

Untuk `c=-\frac{\sqrt{39}}{3}` tidak memenuhi karena tidak terletak dalam selang `[1,3]`. Jadi, `c=\frac{\sqrt{39}}{3}`

2. Carilah nilai rata-rata dari `f` pada `[1,3]` jika `f(x)=x^{2}`.

Solusi:

Dari `\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a)` didapat `\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{(b-a)}=f(c)`

Pada contoh 1 kita telah memperoleh `\int_{1}^{3}x^{2}dx=\frac{26}{3}`. Jadi, nilai rata-rata dari `f` pada `[1,3]` adalah

`f(c)=\frac{\int_{a}^{b}f(x)dx}{(b-a)}`

        `=\frac{\int_{1}^{3}x^{2}dx}{(3-1)}`

        `=\frac{\frac{26}{3}}{2}`

        `=\frac{26}{6}`

        `=\frac{13}{3}`

Dalam contoh 1, terlihat bahwa untuk fungsi ini,

`f(c)=c^{2}`

`f(\frac{\sqrt{39}}{3})=(\frac{\sqrt{39}}{3})^{2}`

                    `=\frac{39}{9}`

                    `=\frac{13}{3}`

Integral Tentu_Konsep Luas

Hai teman-teman...

Sebelumnya, kita telah mempelajari integral tak-tentu dan notasi sigma. Topik pembahasan kita selanjutnya adalah integral tentu. Masalah luas merupakan dasar untuk pembahasan integral tentu khususnya luas poligon, baik poligon dalam maupun poligon luar yang dapat dibuat pada bidang datar, didasarkan atas rumus luas persegi panjang.

1. Luas Menurut Poligon Dalam

Perhatikan contoh berikut. 

Dari gambar di atas kita ingin mencari L(P) atau luas daerah datar yang dibatasi oleh kurva `y = f(x) =x^{2}`, sumbu-x, garis `x=0`, garis `x=2`. Pertama dipartisikan selang `0\leq x\leq 2` atas selang bagian yang sama dengan panjang `\Delta x=\frac{(b-a)}{n}=\frac{2-0}{n}=\frac{2}{n}`, dan memakai titik-titik: `0=x_{0}< x_{1}< x_{2}<...<  x_{n-1}< x_{n}=2`, sehingga:

`x_{0}=0`

`x_{1}=0+\Delta x=\frac{2}{n}=1(\frac{2}{n})`

`x_{2}=0+2\Delta x=\frac{4}{n}=2(\frac{2}{n})`

`x_{3}=0+3\Delta x=\frac{6}{n}=3(\frac{2}{n})`

.

.

.

`x_{n}=0+n\Delta x=n(\frac{2}{n})=2` 

Menghitung luas poligon dalam:

`L(P)dalam = f(x_{0})\Delta x+f(x_{1})\Delta x+f(x_{2})\Delta x+...+f(x_{n-1})\Delta x`

                         `= (0)^{2}(\frac{2}{n})+(1(\frac{2}{n}))^{2}(\frac{2}{n})+...+[((n-1)(\frac{2}{n}))^{2}](\frac{2}{n})`

                         `=(\frac{2}{n})^{3}(0^{2}+1^{2}+2^{2}+...+(n-1)^{2})`

                         `=(\frac{2}{n})^{3}\sum_{j=0}^{n-1}j^{2}`

                         `=(\frac{2}{n})^{3}\sum_{i=1}^{n}(i-1)^{2}`

                         `=(\frac{2}{n})^{3}\sum_{i=1}^{n}(i^{2}-2i+1)`

catatan: `\sum_{i=1}^{n}(i^{2}-2i+1)=\sum_{i=1}^{n}i^{2}-2\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n}1`

                                                   `=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{2(n)(n+1)}{2}+n`

                                                   `=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\frac{6(n)(n+1)}{6}+\frac{6n}{6}`

                                                   `=\frac{2n^{3}-3n^{2}+n}{6}`

Jadi,

`L(P)dalam =(\frac{2}{n})^{3}\sum_{i=1}^{n}(i^{2}-2i+1)`

                      `=(\frac{2}{n})^{3}(\frac{2n^{3}-3n^{2}+n}{6})`

                      `=(\frac{8}{n^{3}})(\frac{2n^{3}-3n^{2}+n}{6})`

                      `=\frac{8}{3}-\frac{4}{n}+\frac{4}{3n^{2}}`

Sehingga,

`\lim_{n\rightarrow \infty} L(P)dalam = \lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{8}{3}-\frac{4}{n}+\frac{4}{3n^{2}})=\frac{8}{3}`

2. Luas Menurut Poligon Luar

Perhatikan gambar di bawah ini.

Sekarang, kita ingin menghitung luas poligon luar yang dibatasi oleh kurva `y = f(x) =x^{2}`, sumbu-x, garis `x=0`, garis `x=2`:

`L(P)luar=f(x_{1})\Delta x+f(x_{2})\Delta x+f(x_{3})\Delta x+...+f(x_{n})\Delta x`

                  `=(1(\frac{2}{n}))^{2}(\frac{2}{n})+(2(\frac{2}{n}))^{2}(\frac{2}{n})+...+[((n)(\frac{2}{n}))^{2}](\frac{2}{n})`

                  `=(\frac{2}{n})^{3}(1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2})`

                  `=(\frac{2}{n})^{3}\sum_{i=1}^{n}i^{2}`

                  `=(\frac{2}{n})^{3} (\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})`

                  `=(\frac{8}{n^{3}})(\frac{2n^{3}+3n^{2}+n}{6})`

                  `=\frac{8}{3}+\frac{4}{n}+\frac{4}{3n^{2}}`

Sehingga,

`\lim_{n\rightarrow \infty} L(P)luar = \lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{8}{3}+\frac{4}{n}+\frac{4}{3n^{2}})=\frac{8}{3}`

Pada gambar tampak bahwa `L(P)dalam < L(P)luar`. Menurut teorema apit, maka untuk `L(P)dalam < L(P) < L(P)luar \rightarrow L(P)=\frac{8}{3}`.

Selanjutnya, diambil suatu fungsi `f` yang terdefinisi pada selang `[a,b]`. Partisikan selang `[a,b]` atas `n` selang bagian (tidak harus sama panjang) dengan memakai titik-titik:

`a=x_{0}< x_{1}< x_{2}< ...< x_{n-1}< x_{n}=b`

dengan `\Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}` (jarak antara titik `x_{i-1}` dengan `x_{i}`). 

Pada setiap selang bagian `(x_{i-1}, x_{i})` dipilih titik sebarang (boleh titik ujung), misalnya `\bar{x_{i}}` sebagai berikut;

Sebuah partisi dari `[a,b]` dengan `n` selang bagian memiliki jumlah Riemann untuk fungsi `f` yakni sebagai berikut.

`R_{p}=\sum_{i=1}^{n}f(\bar{x_{i}})\Delta x_{i}`

Dari pembahasan di atas dengan memisalkan `|| P ||` menyatakan norma `P`, yaitu panjang selang bagian terpanjang (terlebar) dari partisi `P`, maka dapat dibuat definisi sebagai berikut:

Andaikan `f` suatu fungsi pada selang `[a,b]`. Jika nilai `\lim_{|| P ||\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\bar{x_{i}})\Delta x_{i}` ada, maka dikatakan bahwa `f` terintegralkan pada `[a,b]`, dan ditulis sebagai `\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{|| P ||\rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\bar{x_{i}})\Delta x_{i}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}f(\bar{x_{i}})\Delta x_{i}`, yang disebut integral tentu (atau Integral Riemann) `f` dari `a` ke `b`.

Pada lambang `\int_{a}^{b}f(x)dx`, `a` disebut batas bawah dan `b` disebut batas atas dari integral tersebut. Dalam definisi `\int_{a}^{b}f(x)dx`, secara implisit kita menganggap bahwa `a < b`. Menghilangkan batasan tersebut dengan definisi berikut.

`\int_{a}^{b}f(x)dx=0`

`\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx, a>b`

Nah, agar teman-teman lebih memahami konsep integral tentu perhatikan contoh-contoh berikut.

1. Hitungah luas poligon yang dibatasi oleh kurva `y=\frac{1}{2}x`, sumbu-x, garis `x=2` dan `x=4`, jika daerah poligon tersebut dibagi atas 5 poligon bagian yang sama.

Solusi:

Karena selang `[2,4]` dipartisi atas 5 selang bagian yang sama, maka `\Delta x=\frac{(4-2)}{5}=\frac{2}{5}`, dan

`x_{0}=2`

`x_{1}=2+\frac{2}{5}=\frac{12}{5}`

`x_{2}=2+2(\frac{2}{5})=2+\frac{4}{5}=\frac{14}{5}`

`x_{3}=2+3(\frac{2}{5})=2+\frac{6}{5}=\frac{16}{5}`

`x_{4}=2+4(\frac{2}{5})=2+\frac{8}{5}=\frac{18}{5}`

`x_{5}=2+5(\frac{2}{5})=2+\frac{10}{5}=4`

Luas poligon dalam:

`L(P)dalam = f(x_{0})\Delta x+f(x_{1})\Delta x+f(x_{2})\Delta x+f(x_{3})\Delta x+f(x_{4})\Delta x`

`=(\frac{1}{2})(2)(\frac{2}{5})+(\frac{1}{2})(\frac{12}{5})(\frac{2}{5})+(\frac{1}{2})(\frac{14}{5})(\frac{2}{5})+(\frac{1}{2})(\frac{16}{5})(\frac{2}{5})+(\frac{1}{2})(\frac{18}{5})(\frac{2}{5})`

`=\frac{10}{25}+\frac{12}{25}+\frac{14}{25}+\frac{16}{25}+\frac{18}{25}`

`=\frac{70}{25}`

`=\frac{14}{5}`

2. Hitunglah jumlah Riemann `R_{p}` untuk `f(x)=x-1` dan partisi `P` adalah `3< 3,75< 4,25< 5,5<  6< 7` serta titik-titik sampel: `\bar{x_{1}}=3; \bar{x_{2}}=4; \bar{x_{3}}=4,75; \bar{x_{4}}=6; \bar{x_{5}}=6,75`

Solusi:

`R_{p}=\sum_{i=1}^{5}f(\bar{x_{i}})\Delta x_{i}`

`=f(\bar{x_{1}})\Delta x_{1}+f(\bar{x_{2}})\Delta x_{2}+f(\bar{x_{3}})\Delta x_{3}+f(\bar{x_{4}})\Delta x_{4}+f(\bar{x_{5}})\Delta x_{5}`

`=(3-1)(3,75-3)+(4-1)(4,25-3,75)+(4,75-1)(5,5-4,25)+(6-1)(6-5,5)+(6,75-1)(7-6)`

`=(2)(0,75)+(3)(0,5)+(3,75)(1,25)+(5)(0,5)+(5,75)(1)`

`=1,5+1,5+4,6875+2,5+5,75`

`=15,9375`

3. Hitunglah `\int_{-1}^{3}(x+4)dx` dengan menggunakan integral Riemann.

Solusi:

Bagi selang `[-1,3]` atas `n` selang bagian yang sama, masing-masing sebesar `\Delta x=\frac{3-(-1)}{n}=\frac{4}{n}`. Pada setiap selang bagian `[x_{i-1},x_{i}]` digunakan titik-titik berikut:

`x_{0}=-1`

`x_{1}=-1+\Delta x=-1+\frac{4}{n}`

`x_{2}=-1+2\Delta x=-1+2(\frac{4}{n})`

`x_{3}=-1+3\Delta x=-1+3(\frac{4}{n})`

.

.

.

`x_{i}=-1+i\Delta x=-1+i(\frac{4}{n})`

.

.

.

`x_{n}=-1+n\Delta x=-1+n(\frac{4}{n})=3`

Maka, `f(x_{i})=x_{i}+4=(-1+i(\frac{4}{n}))+4=3+\frac{4i}{n}`.

`\sum_{i=1}^{n}f(\bar{x_{i}})\Delta x_{i}=\sum_{i=1}^{n}(3+\frac{4i}{n})(\frac{4}{n})`

                           `=\sum_{i=1}^{n}(\frac{12}{n}+\frac{16i}{n^{2}})`

                           `=\sum_{i=1}^{n}\frac{12}{n}+\sum_{i=1}^{n}\frac{16i}{n^{2}}`

                           `=\frac{12}{n}\sum_{i=1}^{n}1+\frac{16}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}i`

                           `=\frac{12}{n}(n)+\frac{16}{n^{2}}(\frac{n(n+1)}{2})`

                            `=12+\frac{8(n+1)}{n}`

                            `=\frac{12n+8n+8}{n}`

                            `=\frac{20n+8}{n}`

                            `=20+\frac{8}{n}`

Jadi, 

`\int_{-1}^{3}(x+4)dx=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}f(\bar{x_{i}})\Delta x_{i}`

                             `=\lim_{n\rightarrow \infty}(20+\frac{8}{n})`

                             `=20`

Notasi Sigma

Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas bersama tentang notasi sigma. Notasi sigma memungkinkan teman-teman untuk menulis penjumlahan dengan banyak suku dalam bentuk seperti di bawah ini

`\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n-1}+a_{n}`

Huruf Yunani `\sum` (huruf kapital sigma, yang berpadanan dengan huruf latin `S`), singkatan dari "jumlah (sum)." Indeks penjumlahan `k` menyatakan kapan penjumlahan dimulai yaitu pada bilangan di bawah simbol `\sum` dan kapan penjumlahan berakhir yaitu pada bilangan di atas `\sum`. Kita dapat menggunakan huruf sebarang selain `k` untuk melambangkan indeks, tetapi huruf yang biasa dipakai adalah `i`, `j`, dan `k`.

Coba perhatikan jumlah:

`1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+100^{2}`

Bentuk penjumlahan di atas dapat dituliskan dalam bentuk kompak sebagai berikut.

`\sum_{k=1}^{100}k^{2}`

Contoh lainnya adalah:

1. `\sum_{j=1}^{n}\frac{1}{j}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}`

2. `\sum_{i=1}^{4}\frac{i}{i^{2}+1}=\frac{1}{1^{2}+1}+\frac{2}{2^{2}+1}+\frac{3}{3^{2}+1}+\frac{4}{4^{2}+1}`

3. `\sum_{i=1}^{100}f(i)=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(100)`

Berikut ini adalah aturan aljabar untuk jumlah berhingga. 

1. Aturan Jumlah: `\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}`
2. Aturan Selisih: `\sum_{k=1}^{n}(a_{k}-b_{k})=\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sum_{k=1}^{n}b_{k}`
3. Aturan Kelipatan Konstanta:`\sum_{k=1}^{n}ca_{k}=c\sum_{k=1}^{n}a_{k}` (`c` adalah sebarang nilai konstanta)
4. Aturan Nilai Konstanta:`\sum_{k=1}^{n}c=n.c` (`c` adalah sebarang nilai konstanta)

Bukti untuk setiap aturan di atas:

1. `\sum_{k=1}^{n}(a_{k}+b_{k})=(a_{1}+b_{1})+(a_{2}+b_{2})+...+(a_{n}+b_{n})`

                               `=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}+b_{1}+b_{2}+...+b_{n}`

                               `=\sum_{k=1}^{n}a_{k}+\sum_{k=1}^{n}b_{k}`

2. `\sum_{k=1}^{n}(a_{k}-b_{k})=(a_{1}-b_{1})+(a_{2}-b_{2})+...+(a_{n}-b_{n})`

                                `=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}-b_{1}-b_{2}-...-b_{n}`

                                `=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}-(b_{1}+b_{2}+...+b_{n})`

                                `=\sum_{k=1}^{n}a_{k}-\sum_{k=1}^{n}b_{k}`

3. `\sum_{k=1}^{n}ca_{k}=ca_{1}+ca_{2}+...+ca_{n}`

                   `=c(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})`

                   `=c\sum_{k=1}^{n}a_{k}`

4. `\sum_{k=1}^{n}c=c+c+c+...+c` (ada n suku)

               `=n.c`

Perhatikan contoh berikut.

1. `\sum_{k=1}^{3}(k+2)=\sum_{k=1}^{3}k+\sum_{k=1}^{3}2`

                           `=(1+2+3)+(3.2)`

                           `=6+6`

                           `=12`

2. `\sum_{j=1}^{7}5=7(5)=35`

3. `\sum_{k=1}^{3}(k-4)=\sum_{k=1}^{3}k-\sum_{k=1}^{3}4`

                           `=(1+2+3)-(3.4)`

                           `=6-12`

                           `=-6`

4. `\sum_{j=1}^{100}(-6)=100(-6)=-600`

5. `\sum_{k=1}^{4}(-2k)=-2\sum_{k=1}^{4}k`

                            `=-2(1+2+3+4)`

                            `=-2(10)`

                            `=-20`

6. `\sum_{j=0}^{2}x^{3}=\sum_{k=1}^{3}x^{3}=3x^{3}=x^{3}+x^{3}+x^{3}`

Suatu jumlah dapat dituliskan dalam lebih dari satu cara dengan notasi sigma melalui pengubahan batas-batas jumlah. Berikut ini adalah contohnya:

`\sum_{k=1}^{5}2k=2+4+6+8+10`

`\sum_{k=0}^{4}(2k+2)=2+4+6+8+10`

`\sum_{k=2}^{6}(2k-2)=2+4+6+8+10`

Ada beberapa jumlah khusus yaitu dijelaskan sebagai berikut.

1. Jumlah dari `n` bilangan bulat pertama adalah:
`\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}`
2. Jumlah kuadrat `n` bilangan bulat pertama adalah:
`\sum_{k=1}^{n}k^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`
3. Jumlah kubik `n` bilangan bulat pertama adalah:
`\sum_{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=(\frac{n(n+1)}{2})^{2}`

Dalam rumus `\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

Atau

`1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

Ruas kiri dari kesamaan, dikatakan bahwa jumlah diekspresikan dalam bentuk terbuka dan ruas kanan dikatakan mengekspresikan jumlah dalam bentuk tertutup.

Contoh:

Ekspresikan `\sum_{k=1}^{n}(3+k)^{2}` dalam bentuk tertutup.

Solusi:

`\sum_{k=1}^{n}(3+k)^{2}=\sum_{k=1}^{n}(9+6k+k^{2})`

                          `=\sum_{k=1}^{n}9+\sum_{k=1}^{n}6k+\sum_{k=1}^{n}k^{2}`

                          `=\sum_{k=1}^{n}9+6\sum_{k=1}^{n}k+\sum_{k=1}^{n}k^{2}`

                          `=9n+\frac{6n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

                          `=\frac{54n+18n^{2}+18n+2n^{3}+3n^{2}+n}{6}`

                          `=\frac{2n^{3}+21n^{2}+73n}{6}`

                          `=\frac{1}{3}n^{3}+\frac{7}{2}n^{2}+\frac{73}{6}n`

Sekarang, kita akan membahas contoh-contoh soal yang berkaitan dengan notasi sigma.

1. Andaikan `\sum_{k=1}^{n}a_{k}=-5` dan `\sum_{k=1}^{n}b_{k}=6`. 

Carilah nilai 

a. `\sum_{k=1}^{n}\frac{b_{k}}{6}`

b. `\sum_{k=1}^{n}(b_{k}-2a_{k})`

Penyelesaian:

a. `\sum_{k=1}^{n}\frac{b_{k}}{6}=\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{n}b_{k}=\frac{1}{6}(6)=1`

b. `\sum_{k=1}^{n}(b_{k}-2a_{k})=\sum_{k=1}^{n}b_{k}-\sum_{k=1}^{n}2a_{k}`

                                  `=\sum_{k=1}^{n}b_{k}-2\sum_{k=1}^{n}a_{k}`

                                  `=6-2(-5)`

                                  `=6+10`

                                  `=16`

2. Hitunglah jumlah `\sum_{k=1}^{5}k(3k+5)`

Penyelesaian:

`\sum_{k=1}^{5}k(3k+5)=\sum_{k=1}^{5}(3k^{2}+5k)`

                            `=3\sum_{k=1}^{5}k^{2}+5\sum_{k=1}^{5}k`

                            `=3(\frac{5(5+1)(2(5)+1)}{6})+5(\frac{5(5+1)}{2})`

                            `=\frac{990}{6}+\frac{150}{2}`

                            `=165+75`

                            `=240`

3. Hitunglah jumlah `\sum_{k=3}^{17}k^{2}`

Penyelesaian:

Misalkan `j=k-2\Rightarrow k=j+2`

Jika `k=3\Rightarrow j=3-2=1` dan jika `k=17\Rightarrow j=17-2=15`

Sehingga

`\sum_{k=3}^{17}k^{2}=\sum_{j=1}^{15}(j+2)^{2}`

             `=\sum_{j=1}^{15}(j^{2}+4j+4)`

             `=\sum_{j=1}^{15}j^{2}+4\sum_{j=1}^{15}j+\sum_{j=1}^{15}4`

             `=\frac{15(15+1)(2(15)+1)}{6}+4(\frac{15(15+1)}{2})+15(4)`

             `=\frac{7440}{6}+\frac{960}{2}+60`

             `=1240+480+60`

             `=1780`